Mənfi olmayan tam ədədlər ( motə) hesabının çoxluqlar

Xassə 2. Asimmetriklik xassəsi. İxtiyari mənfi olmayan və tam ədədləri üçün doğrudursa , onda doğru ola bilməz.

Xassə 3. Tranzitivlik xassəsi. İxtiyari mənfi olmayan və tam ədədləri üçün və olarsa, onda olar.
Ədəbiyyat

1. S.A.Feyziyev, R.Y.Şükürov. Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları.

Bakı 2010

2. Kazımov.Z.F.Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları. I hissə. Bakı 2016

Mövzu 3. Mənfi olmayan tam ədədlər hesabının aksiomatik

qurulması. Peano aksiomları

Natural ədədlər çoxluğu üçün aksiomlar sistemini müxtəlif üsullarla qurmaq olar. Bu zaman əsas anlayış kimi ədədlərin “ cəmi ” anlayışını, “ nizam münasibəti ” anlayışını, “ bir ədəd digərindən bilavasitə sonra gəlir ” anlayışını və s. göstərmək olar.

Tərif : Natural ədədlər çoxluğu boş olmayan elə çoxluğuna ( Æ ) deyilir ki, bu çoxluqda cəm adlanan binar cəbri əməli təyin edilsin və bu əməl aşağıdakı xassələri ödəsin :

1)toplama kommutativ olsun, yəni və olduqda olsun ;

2) toplama assosiativ olsun, yəni , və olduqda

olsun ;

3) ixtiyari iki və natural ədədləri üçün onların cəmi adlanan ədədi

- dan fərqli olsun, yəni .

4) çoxluğunun ixtiyari boş olmayan altçoxluğunda elə elementi tapmaq

olsun ki, - dan fərqli bütün ədədlərini şəklində

göstərmək mümkün olsun.

Natural ədədlər çoxluğunun aşağıdakı xassələri var :

1. 
   nizamlı çoxluqdur ;
   
2. 
   sonsuz çoxluqdur ;
   
3. 
   diskret çoxluqdur.
   

Qeyd edək ki, natural ədədlər çoxluğunun aksiomatikasının qurulması üçün

ilk anlayış kimi toplama anlayışının seçilməsi yeganə deyil. Belə ki, natural ədədlər çoxluğunda əsas münasibət kimi “ ədədi ədədindən bilavasitə sonra gəlir “ münasibətini götürmək daha məqsədəuyğundur.

Tərif : Boş olmayan çoxluğunun ( Ø) ixtiyari iki və elementləri üçün “ elementi bilavasitə elementindən sonra gəlir ” münasibəti təyin edilmişsə və bu münasibət aşağıdakı aksiomları ödəyirsə, onda çoxluğuna natural ədədlər çoxluğu deyilir.

1) Hər bir natural ədədi üçün ondan bilavasitə sonra gələn ədəd var ;

2) və ədədləri ədədindən bilavasitə sonra gəlirlərsə, onda ;

3) Heç bir ədəd iki müxtəlif natural ədəddən bilavasitə sonra gələ bilməz ; əgər olarsa, onda olmalıdır.

4) Əgər natural ədədlər çoxluğunun altçoxluğu 1- i özünə daxil edirsə və hər bir natural ədədi ilə birlikdə ondan bilavasitə sonra gələn ədədini də özünə daxil edirsə, onda çoxluğu bütün çoxluğu ilə üst – üstə düşür.

Bu aksiomları ilk dəfə italyan alimi Peano şərh etmişdir. Ona görə də bu aksiomlara Peano aksiomları deyirlər.

Beləliklə, biz natural ədədlər çoxluğu üçün iki aksiomatika verdik.

Mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu üçün də Peano aksiomlar sistemi təyin etməklə onun aksiomatik quruluşunu verək. çoxluğunun aksiomatik qurulması üçün ilk anlayış kimi boş olmayan çoxluğu və “ 0” ədədi, ilk münasibət kimi isə “ bilavasitə sonra gəlir ” münasibəti əsas götürülür.

Tərif : Boş olmayan çoxluğunun ( Ø ) ixtiyari iki və elementləri üçün “ elementi elementindən bilavasitə sonra gəlir ” münasibəti təyin edilmişsə və bu münasibət aşağıdakı aksiomları ödəyirsə, onda çoxluğuna mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu deyilir.

1)Sıfır mənfi olmayan tam ədəddir və heç bir mənfi olmayan tam ədəddən bilavasitə

sonra gəlmir.

2)Hər hansı mənfi olmayan tam ədədindən bilavasitə sonra həmişə yalnız bir

mənfi olmayan tam ədədi gəlir ( yəni olduqda olur ).

3)İxtiyari mənfi olmayan tam ədəd birdən çox sayda olmayan digər mənfi olmayan

tam ədəddən bilavasitə sonra gəlir ( yəni olduqda olur ).

4)Sıfırı özünə daxil edən hər hansı çoxluğu

a) natural ədədini öz daxilinə alırsa ;

b) -dən bilavasitə sonra gələn elementini də daxilinə alırsa

- onda çoxluğu mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu ilə üst – üstə düşür .

çoxluğu natural ədədlər sırasına “0” elementini qoşmaqla alındığından çoxluğu natural ədədlər çoxluğunun bütün əsas xassələrini özündə saxlayır.

Başqa sözlə, mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu aşağıdakı əsas xassələrə malikdir.

1. 
   Nizamlı çoxluqdur ;
   
2. 
   Sonsuz çoxluqdur ;
   
3. 
   Diskret çoxluqdur.
   

çoxluğunun bu xassələrini əsaslandıraq.

elementindən əvvəl ( kiçik) və sonra ( böyük) gələn tam ədəd var. Ona görə də nizamlı çoxluqdur.

çoxluğunda ən kiçik element var, bu element sıfırdır ; ən böyük element isə yoxdur. Deməli, aşağıdan məhdud, sonsuz çoxluqdur.

Çoxluğun istənilən iki elementi arasında həmin çoxluğun üçüncü bir elementi olmadıqda və ya sonlu sayda elementi olduqda, ona diskret çoxluq deyilir.

Riyazi induksiya prinsipi

“Riyazi induksiya aksiomu” isbat metodu olan“ riyazi induksiya prinsipinin” əsasını təşkil edir. Riyazi induksiya prinsipinin mahiyyəti aşağıdakı kimidir :

Tutaq ki, natural ədədi üçün olan bir düstur ( təklif ) aşağıdakı iki şərti ödəyir.

1) üçün həmin düstur doğrudur.

2) Bu təklifin hər hansı üçün doğru olduğu fərz edilir. Buna əsasən isə həmin təklifin üçün də doğruluğu isbat edilir.

Onda verilmiş təklifin natural ədədinin bütün qiymətlərində doğru olduğu isbat edilmiş olur.

Misal.

Həlli:

1) olduqda

Deməli, üçün doğrudur.

2) üçün düsturun doğru olduğunun qəbul edək.

3) üçün isə həmin düsturun doğru olduğunu ( yəni

) isbat edək.

Şərtə görə

Onda


Beləliklə, alırıq. Bu da təklifin üçün də doğru olduğunu göstərir.Bu da o deməkdir ki, verilmiş düsturu - nin bütün natural qiymətlərində doğrudur.
Ədəbiyyat

1. S.A.Feyziyev, R.Y.Şükürov. Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları.

Bakı 2010

2. Kazımov.Z.F.Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları. I hissə. Bakı 2016