Musbat va manfiy sonlar

MUSBAT VA MANFIY SONLAR
Siz VI—VII sinf matematika kursida ratsional sonlar va ular ustida amallar bilan tanishgansiz. Ratsional son musbat son, manfiy son yoki nol soni bo‘lishi mumkin.
Musbat ratsional son — bu — ko‘rinishdagi sondir, bunda kvan natural sonlar. Masalan musbat ratsional sonlar.
Manfiy ratsional son — bu ko‘rinishdagi sondir, bunda A; va n
natural sonlar. Masalan, k 2 8 3 ’ 5’ — manfiy ratsional sonlar. Manfiy Ratsional sonlar deb — ko‘rinishdagi sonlarga aytiladi, bunda - butun son, n — natural son.
Agar ratsional sonni maxraji 10 sonining natural darajasidan iborat kasr shaklida yozish mumkin boMsa, u holda bunday ratsional sonni o‘nli kasr ko‘rinishida tasvirlash qulay. Masalan,
1L - o 25- ²⁵⁷ = 0 257' -~³-⁴ = -32 4 100 ’ ’ 1000 10
Musbat sonlar noldan katta, manfiy sonlar esa noldan kichik deyiladi. Sonning noldan katta yoki kichikligini qisqacha yozish uchun > (katta) va < (kichik) tengsizlik ishoralaridan foydalaniladi. Jumladan, a > 0 yozuv a sonning noldan kattaligini, ya’ni a musbat son ekanini ang- latadi; b < 0 yozuv b sonning noldan kichikligini, ya’ni b manfiy son ekanini anglatadi. Masalan:
25 >0, y > 0, - 21 < 0, -f<0.
> va < tengsizlik ishoralari qarama-qarshi ishoralar deyiladi. Masalan, 5 > 0 va 7 > 0 — bir xil ishorali tengsizliklar, 3 > 0 va —2 < 0 — qarama-qarshi ishorali tengsizliklar. Sonlarning quyidagi xossalaridan mashqlar bajarishda ko‘p foydalaniladi.

Harflar yordamida ifodalanishi	So‘zlar yordamida ifodalanishi
1	2
1. Agar a > 0 va b > 0 bo‘lsa, u holda a + b> 0, ab> 0, 7 > 0 bo'ladi. b	Ikkita musbat sonning yig‘indisi, ko'paytmasi va bo'linmasi musbat sonlar bo‘ladi.
2. Agar a < 0 va b < 0 bo‘lsa, u holda a + b < 0, ab > 0, -^ > 0 bo‘ladi.	Manfiy sonlarning yig'indisi manfiy son, ikkita manfiy sonning ko'payt- masi va bo'linmasi esa musbat sonlar bo‘ladi.
3. Agar a > 0 va b < 0 bo‘lsa, u holda ab< 0, -7 < 0, — < 0 bo‘ladi. b a	Musbat son bilan manfiy sonning ko'paytmasi va bo‘linmasi manfiy sonlar bo‘ladi.
4. Agar ab > 0 bo'lsa, u holda yoki a > 0 va b > 0, yoki a < 0 va b < 0 bo‘ladi. Agar 7- >■ 0 bo‘lsa, u holda yoki a > 0 va b > 0, yoki a < 0 va b < 0 bo'ladi.	Agar ikkita sonning ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi musbat bo‘lsa, u holda bu sonlar bir xil ishoraga ega bo‘ladi (ya’ni ikkala son musbat yoki ikkalasi manfiy bo‘ladi).
5. Agar ab< 0 bo‘lsa, u holda yoki a > 0 va b < 0, yoki a < 0 va b > 0 bo‘ladi. Agar -7 < 0 bo‘lsa, u holda U yoki a > 0 va b < 0, yoki a < 0 va b > 0 bo‘ladi.	Agar ikkita sonning ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi manfiy bo‘lsa, u holda bu sonlar har xil ishoraga ega bo‘ladi (ya’ni ulardan biri musbat, ikkinchisi esa manfiy bo‘ladi).
6. Agar ab = 0 bo‘lsa, u holda yoki a — 0 va b * 0, yoki a * 0 va b = 0, yoki a — 0 va b = 0 bo‘ladi.	Agar ikkita sonning ko‘paytmasi nol- ga teng boisa, u holda shu sonlardan aqalli bittasi nolga teng boiadi.
7. Aaar ~ = 0 boisa, u holda a = 0 b va b * 0 boiadi.	Agar kasr nolga teng boisa, u holda uning surati nolga teng boiadi, maxraji esa nolga teng boimaydi.

Son o‘qida musbat sonlar 0 nuqtadan o‘ngda yotuvchi nuqtalar bilan, manfiy sonlar esa 0 nuqtadan chapda yotuvchi nuqtalar bilan tasvirlanishini bilasiz.

„a sonni tasvirlovchi nuqta“ deyish o‘miga qisqalik uchun „a nuqta“ deb aytiladi. Masalan, 3 nuqta 0 nuqtadan o‘ngda yotadi; —2 nuqta 0 nuqtadan chapda yotadi (22- rasm).

1. 
   masala. a< 0 bo‘lsa, a² > 0 va a³ < 0 bo‘lishini isbotlang.
   

A Masalaning shartiga ko‘ra a < 0. Sonning kvadrati a² = a ■ a va ikkita manfiy sonning ko‘paytmasi esa musbat son bo‘lgani uchun a² > 0.
D
©
arajaning xossasiga ko^wra a³ = a² ■ a, ya’ni a³ son a² musbat son bilan a manfiy sonning ko‘paytmasi bo‘lgani uchun a³ < 0. ▲
Manfiy sonni juft darajaga ko'targanda musbat son hosil bo‘ladi. Manfiy sonni toq darajaga ko‘targanda manfiy son hosil bo‘ladi.
Masalan, (—2,8)⁶ > 0, (—1,2)⁵<0.
Tenglamaning ildizlari, agar ular mavjud bo‘lsa, musbat, manfiy sonlar yoki nol bo‘lishi mumkin.

2. 
   masala. Tenglamani yeching:
   

(2x + l)(3x - 9) = 0.

A Agar ko‘paytuvchilardan aqalli bittasi nolga teng, ya’ni 2x + 1 = 0 yoki 3x — 9 = 0 bo‘lsa, u holda ko‘paytma nolga teng bo‘ladi. 2x + 1 = 0

tenglamani yechib, x = - ^ ekanini topamiz; 3x~ 9 = 0 tenglamani
yechib, x = 3 ekanini topamiz. Ildizlardan biri manfiy, ikkinchisi
musbat son boiadi.
Javob: x, =-i, x₂ = 3. A

3. 
   masala. Tenglamani yeching: x +25
   

A Berilgan kasr surati x² + 5x = 0 va maxraji x² + 25*0 bo‘lganda nolga teng bo‘ladi.
x² + 5x = 0 tenglamani bunday yozish mumkin:
x(x + 5) = 0.
Bu tenglama x, = 0, x₂ =-5 ildizlarga ega. x = 0 va x = -5 bo'lganda maxraj nolga teng emas: x² + 25*0.
Ildizlardan biri nol, ikkinchisi manfiy son ekan.
Javob: x, = 0, x₂ =- 5. A

4. 
   masala. Tenglamani yeching:
   

x+5
A Agar x² — 25 = 0, lekin x + 5 * 0 bo‘lsa, u holda berilgan kasr nolga teng bo‘ladi.
~ 25 = 0 tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(x - 5)(x + 5) = 0,
bundan: x, = 5, x₂ =-5; x = 5 bo'lganda maxraj nolga teng emas: x + 5 ^ 0; x =-5 bo‘lganda esa maxraj nolga teng: x + 5 = 0. Demak, x =-5 beril­gan tenglamaning ildizi bo^£la olmaydi. Tenglamaning ildizi musbat son bo‘ladi.

121. 
     a ning istalgan qiymatida ifodaning qiymati manfiy bo‘lishini isbotlang.
     

1) (-1,5)W; 2) (~7)⁵ - (1 - a)⁴; 3) 2fl(4«-3)-(3fl-l)²; 4) 3a(a + 4) - (2a + 3)².

121. 
     a < 0, b > 0 bo'lsin. Ifodaning qiymati musbatmi yoki manfiymi:
     

1. 
   a³b⁴; 2) (2a - b)(2b - a);