Fazolar va sinov funksiyalar fazosi Belgilash

fazolar va sinov funksiyalar fazosi

1. 
   Belgilash
   

N manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini belgilasin. , uchun biz quyidagicha yozamiz

va

Markazi x va radiusi r bo'lgan ochiq sharni B_r(x) bilan belgilaymiz.
2. Ochiq to’plamlar
Ω Rⁿ ning ochiq to'plami bo'lsin n va k manfiy butun son yoki ∞ bo'lsin. Biz (Ω) ni f : Ω → C funksiyalar to'plami deb belgilaymiz, shunda har bir uchun |a| ≤ k, hosila mavjud va uzluksizdir. (Ω) deb yozamiz.
Har bir K_j+1 va Ω = K_j, ning ichki qismida joylashganki, K_j ixcham to'plamlar ketma-ketligi mavjudligi isbotlanadi; Biz buni ixcham to'plamlar orqali Ω ning tugashi deb ataymiz. ∈ (Ω) uchun aniqlaymiz,

bu ta'rif k = ∞ uchun mantiqiydir. Agar f (Ω) ning nolga teng bo'lmagan elementi bo'lsa, u holda f(x) ≠ 0 bo'lgan bir x ∈ (Ω) bo'ladi va keyin x ∈ K_N bo'lgan ayrim N mavjud va shuning uchun pk, N(f) ≥ sup _{y ∈ KN} |f(y)| ≥ |f(x)| > 0. Shunday qilib, p_k,_N (Ω) bo'yicha seminormalarni ajratuvchi turkumdir. Shaklning o'sha to'plamlari

(Ω) bo’yicha topologiya uchun 0 da lokal asos hosil qiladi va p_k,N seminormalarning ajratuvchi turkumi bo’lgani uchun, bu topologiyada (Ω) mahalliy qavariq fazodir¹.
p_k,N seminormalarning hisoblanuvchi ajratuvchi oilasi bo'lgani uchun bu topologiyani o'lchash mumkin. Quyidagi teoremada C(Ω) ning Frechet fazosi ekanligini isbotlaymiz².
Teorema 1. Agar Ω Rⁿ ning ochiq kichik to'plami bo'lsa, u holda C(Ω) Frechet fazosidir.
Isbot: f_i ∈ C(Ω) Koshi ketma-ketligi bo'lsin. Ya'ni, har bir N uchun shunday biror i_N borki, agar i, j ≥ i_N bo'lsa u holda

Har bir x ∈ Ω uchun oxir-oqibat x ∈ K_N. Agar x ∈ K_N va i, j ≥ i_N bo'lsa, u holda
Demak, f_i(x) C dagi Koshi ketma-ketligidir va shuning uchun qandaydir f(x) ∈ C ga yaqinlashadi. Shunday qilib, f: Ω → C funktsiyasini aniqladik. C(Ω) da f ∈ C(Ω) va f_i → f ekanligini isbotlaymiz.
K Ω ning ixcham kichik to'plami bo'lsin, ε > 0 bo'lsin va N ikkala K ⊆ K_N va N ≥ bo'lishi uchun yetarlicha katta bo'lsin. i uchun j ≥ i_N,

i ≥ i_N va x ∈ K_N bo'lsin. Shunday j_x mavjudki, j ≥ j_x shuni bildiradi |f_j(x) − f(x)| < ε, va shuning uchun j ≥ max(i_N , j_x) uchun
≤ + ε + ε
Bu shuni ko'rsatadiki, i ≥ i_N uchun,

Biz Ω ning har qanday ixcham K kichik to'plami uchun bizda sup _{x∈ K} |f_i(x) −f(x)| → 0 sifatida i → ∞.
x ∈ Ω, ε > 0 bo'lsin va N ning ikkalasi ham yetarlicha katta bo'lsin, shunda x o'lchamda yotsin. K_N ning ichki qismi va shuning uchun N ≥ . Chunki |f_i(x) − f(x)| → 0 kabi i → ∞, biror i₀ mavjud, shuning uchun i ≥ i₀ nazarda tutadi

i = max(i₀, i_N) bo‘lsin. f_i uzluksiz bo'lgani uchun, > 0 bo'ladi, shuning uchun |x−y| < |f_i(x)−f_i(y)| < ε ekanligini bildiradi; markazi x va radiusi bo'lgan ochiq to'p K_N ichida bo'lishi uchun ni etarlicha kichik olamiz. |y − x| uchun < ,

Bu shuni ko'rsatadiki, f x da uzluksiz va x Ω ning ixtiyoriy nuqtasi edi, shuning uchun f ∈ C(Ω).
Biz allaqachon aniqladikki, Ω ning har qanday ixcham K kichik to'plami uchun bizda sup_x∈K |f_i(x) - f(x)| → 0 sifatida i → ∞. Shunday qilib, har qanday N uchun biror j_N mavjud bo'lib, agar i ≥ j_N bo'lsa, |f_i(x) - f(x)| < . Boshqacha aytganda, agar i ≥ j_N, keyin p₀, _N(f_i - f) , ya'ni fi - f ∈ V_0,N , C(Ω) da f_i → f ekanligini ko'rsatadi.