Fazolar va sinov funksiyalar fazosi Belgilash

Teorema 3. Agar Ω Rⁿ ning ochiq kichik to'plami bo'lsa, u holda C^∞(Ω) Frechet fazosidir.
Isbot: f_i ∈ C^∞(Ω) C^∞(Ω) da Koshi ketma-ketligi bo'lsin. Shunday qilib, har bir k uchun f_i C^k(Ω) dagi Koshi ketma-ketligidir va shuning uchun 2-teorema bo'yicha ba'zi g_k ∈ C^k(Ω) mavjud bo'lib, u uchun C^k(Ω) da f_i → g_k. g = g₀ ni aniqlaymiz va g₀ = g₁ = g₂ = · · ·, demak, g ∈ C^∞(Ω) ekanligini tekshiramiz.
3. Ochiq to’plamlar
Ω Rⁿ ning ochiq kichik to'plami bo'lsin, ixcham bo'lsin, ya'ni Ω Rⁿ ning cheklangan ochiq kichik to'plami bo'lsin. Agar k manfiy butun son bo'lsa, C^k( ) ning f elementlari C^k(Ω) bo'lsin, shunda har bir a ∈ Nⁿ uchun |a| ≤ k, ∂^af funksiyasi uzluksiz Ω → ℂ va uzluksiz → ℂ funksiyasiga kengaytirilishi mumkin; agar shunday uzluksiz → ℂ funksiyasi mavjud bo'lsa, u noyob va shuning uchun qiymat haqida gapirish mantiqan. ∂Ω, nuqtalarda ∂^af va shunday qilib ∂^af : → C ni yozish uchun:. C( ) = C⁰( ). f ∈ C^k( ) uchun aniqlaymiz.

Bu C^k ( ) bo'yicha norma ekanligini tekshirish oson.
Teorema 4. Agar Ω Rⁿ ning chegaralangan ochiq kichik to'plami bo'lsa, u holda C( ) Banach fazosidir.
Isbot: f_i ∈ C(Ω) Koshi ketma-ketligi bo'lsin. Shunday qilib, fi: → C uzluksiz,va har qanday j > 0 uchun ba'zi borki, agar i bo'lsa, j ≥ bo'ladi.

Keyin, har bir x ∈ uchun biz f_i(x) ℂ dagi Koshi ketma-ketligidir va shuning uchun ba'zi f(x) ∈ ℂ ga yaqinlashadi va shu bilan f : → ℂ funktsiyasini aniqlaydi. x ∈ va > 0 uchun , chunki f_i(x) → f(x), shunday j_x mavjud j ≥ j_x shuni anglatadiki, |f_j(x) - f(x)| < . i ≥ va j ≥ max( , j_x) uchun
.
Bu shuni ko'rsatadiki, sifatida i → ∞.
X ∈ Ω ni to'g'rilab, > 0 bo'lsin. Biz isbotlagan narsa shuni ko'rsatadiki, i ≥ i₀ bir qancha i₀ borki, buning uchun i ≥ i₀ . sifatida uzluksiz, ba'zi > 0 borki, y ∈ B_δ(x) ∩ uchun bizda | (x) - (y)| < . U holda, y ∈ B_δ(x) ∩ uchun,
.
Bu f ning x da uzluksiz ekanligini isbotlaydi va x ning ixtiyoriy nuqtasi bo'lgani uchun bizda f ∈ C( ) mavjud.