Mustaqil ishi Mavzu: Kompleks sonning ko’rsatgichli formasi,Eyler formulasi. Bajardi: Safarova Z. Tekshirdi: Yaxshiyeva Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Muavr va Eyler formulalari

n-ildiz chiqarish uchun esa
(1.5)
formula qo‘llanadi.
2-misol. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang:
a) , b) , d) , e)
► a) .
bo‘lgani uchun (1.1) ga ko‘ra,
.
Demak, (1.2) ga ko‘ra, kompleks sonning trigonometrik shakli quyidagiga teng ekan:
.
b) uchun , .
.
d) uchun . , ya’ni sof mavhum son bo‘lgani sababli argument (1.1) dan aniqlanmaydi, bu yerda . Demak,
.
e) uchun bo‘lgani sababli, . Demak,
.◄
2-misol. Hisoblang:
► 1-usul.
2-usul. Trigonometrik shaklda yozamiz, , Muavr formulasiga ko‘ra,
.
Trigonometrik ko’rinishdagi kompleks sonlar
ustida amallar bajarish.
1 . Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son ko’paytmasi shunday kompleks sonki, uning moduli ko’paytiruvchilar modullarining ko’paymasiga, argumenti esa ko’paytiruvchilar argumentlarining yig’indisiga teng, ya’ni
r₁(Cosφ₁ + iSinφ₁) · r₂(Cosφ₂ + iSinφ₂)=
= r₂· r₂(Cos(φ₁₊ φ₂) + iSin(φ₁₊ φ₂))
Misol: 2(Cos20⁰ + iSin20⁰) · 7(Cos100⁰ + iSin100⁰)=
= 14(Cos120⁰ + iSin120⁰)=

2 . Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son bo’linmasining moduli bo’linuvchi va bo’luvchi modullarining bo’linmasiga teng bo’lib, bo’linmaning argumenti bo’linuvchi va bo’luvchi argumentlarining ayirmasiga teng, ya’ni

Misol:

o'pincha samolyotda ishlatiladi qutbli koordinatalar tizimi . Agar O nuqta berilgan bo'lsa, aniqlanadi qutb, va qutbdan chiqadigan nur (biz uchun bu o'q Ox) - qutb o'qi. M nuqtasining pozitsiyasi ikkita raqam bilan belgilanadi: radius (yoki radius vektori) va qutb o'qi va vektor o'rtasidagi burchak ph . ph burchagi deyiladi qutb burchagi; U radyanlarda o'lchanadi va qutb o'qidan soat miliga teskari hisoblab chiqiladi.
Nuqtaning qutb koordinata sistemasidagi o‘rni tartiblangan sonlar juftligi (r; ph) bilan beriladi. Qutbda r = 0 va ph aniqlanmagan. Boshqa barcha nuqtalar uchun r > 0 va ph 2p ning karraligacha aniqlanadi. Bunda (r; ph) va (r 1 ; ph 1) juft raqamlarga bir xil nuqta tayinlanadi, agar .
To'rtburchak koordinatalar tizimi uchun xOy Nuqtaning dekart koordinatalarini uning qutb koordinatalari orqali quyidagicha oson ifodalash mumkin:
3.2. Kompleks sonning geometrik talqini
Tekislikda Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik xOy.
Har qanday kompleks son z=(a, b) tekislikning koordinatalari ( ga ega) nuqtasi bilan belgilanadi. x, y), qayerda koordinata x = a, ya'ni. kompleks sonning haqiqiy qismi, y = bi koordinatasi esa xayoliy qismdir.
Nuqtalari kompleks sonlar bo'lgan tekislik kompleks tekislikdir.
Rasmda kompleks son z = (a, b) mos keladigan nuqta M(x, y).
Vazifa.Koordinata tekisligida kompleks sonlarni chizing:
3.3. Kompleks sonning trigonometrik shakli
Tekislikdagi kompleks son nuqtaning koordinatalariga ega M(x; y). Bunda:
Kompleks sonni yozish  - kompleks sonning trigonometrik shakli.
r raqami chaqiriladi modul murakkab son z va belgilanadi. Modul manfiy bo'lmagan haqiqiy sondir. Uchun  .
Modul nolga teng, agar va faqat z = 0, ya'ni. a=b=0.
ph raqami chaqiriladi argument z va belgilandi. z argumenti qutb koordinata tizimidagi qutb burchagi kabi noaniq tarzda aniqlanadi, ya'ni 2p ning karraligacha.
Keyin biz qabul qilamiz: , bu erda ph argumentning eng kichik qiymati. Bu aniq
.
Mavzuni chuqurroq o'rganish bilan yordamchi argument ph* kiritiladi, shunday qilib
1-misol. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping.
Yechim. 1) modulni ko'rib chiqamiz: ;
2) ph ni qidirmoqda:  ;
3) trigonometrik shakl: 
2-misol Kompleks sonning algebraik shaklini toping  .
Bu erda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini almashtirish va ifodani o'zgartirish kifoya:
3-misol Kompleks sonning moduli va argumentini toping;

1)  ;

2) ; ph - 4 chorakda:
3.4. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar bilan amallar
· Qo‘shish va ayirish murakkab sonlar bilan algebraik shaklda bajarish qulayroq:
· Ko'paytirish– oddiy trigonometrik o'zgarishlar yordamida buni ko'rsatish mumkin ko'paytirishda raqamlarning modullari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi: ;
Kompleks sonlarning geometrik tasviri.a) Kompleks sonlar quyidagi qoidaga muvofiq tekislik nuqtalari bilan ifodalanadi: a + bi = M ( a ; b ) 
b) Kompleks sonni nuqtadan boshlanadigan vektor sifatida ifodalash mumkinHAQIDA va berilgan nuqtada tugaydi (2-rasm).

7-misol. Kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3-rasm).

Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.
Kompleks raqamz = a + bi radius - vektor yordamida o'rnatilishi mumkin koordinatalari bilan( a ; b ) (4-rasm).
4-rasm
Ta'rif . Vektor uzunligi kompleks sonni ifodalaydiz , bu sonning moduli deb ataladi va belgilanadi yokir .
Har qanday murakkab son uchunz uning modulir = | z | formula bilan yagona aniqlanadi .
Ta'rif . Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va vektor orasidagi burchakning qiymati kompleks sonni ifodalovchi bu kompleks sonning argumenti deyiladi va belgilanadiLEKIN rg z yokiφ .
Kompleks son argumentiz = 0 aniqlanmagan. Kompleks son argumentiz≠ 0 ko'p qiymatli miqdor bo'lib, muddatgacha aniqlanadi2k (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2k , qayerdaarg z - intervalga kiritilgan argumentning asosiy qiymati(-π; π] , ya'ni-π < arg z ≤ π (ba'zan argumentning asosiy qiymati sifatida intervalga tegishli qiymat olinadi .
Bu formula uchunr =1 Ko'pincha De Moivre formulasi deb ataladi:
(cos ph + i sin ph) n = cos (nph) + i sin (nph), n  N .
11-misol Hisoblang(1 + i ) 100 .
Kompleks sonni yozamiz1 + i trigonometrik shaklda.
a = 1, b = 1 .
cos ph = , sin ph = , φ = .
(1+i) 100 = [ (chunki + gunoh qilaman )] 100 = ( ) 100 (chunki 100+ gunoh qilaman 100) = = 2 50 (cos 25p + i sin 25p) = 2 50 (cos p + i sin p) = - 2 50 .
4) Kompleks sonning kvadrat ildizini chiqarish.
Kompleks sonning kvadrat ildizini chiqarishdaa + bi bizda ikkita holat bor:
agarb > haqida , keyin  ;
2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli
Kompleks tekislikda vektor son bilan berilgan bo'lsin.
Musbat yarim o'q Ox va vektor orasidagi burchakni ph bilan belgilang (agar ph burchak soat miliga teskari hisoblansa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi).

Vektor uzunligini r bilan belgilang. Keyin. Biz ham belgilaymiz
Nolga teng bo'lmagan z kompleks sonini quyidagicha yozish
z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi. r soni z kompleks sonining moduli, ph soni esa bu kompleks sonning argumenti deyiladi va Arg z bilan belgilanadi.
Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli - (Eyler formulasi) - kompleks sonni yozishning eksponensial shakli:
z kompleks soni cheksiz ko'p argumentlarga ega: agar ph0 z sonining har qanday argumenti bo'lsa, qolgan barcha raqamlarni formula bo'yicha topish mumkin.
Kompleks son uchun argument va trigonometrik shakl aniqlanmagan.
Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kompleks sonning argumenti tenglamalar tizimining har qanday yechimidir:
(3)
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi kompleks z argumentining ph qiymati asosiy qiymat deb ataladi va arg z bilan belgilanadi.
Argumentlar Arg z va arg z tenglik bilan bog'langan
, (4)
Formula (5) (3) sistemaning natijasidir, shuning uchun kompleks sonning barcha argumentlari tenglikni (5) qanoatlantiradi, lekin (5) tenglamaning barcha ph yechimlari z sonining argumentlari emas.
Nolga teng bo'lmagan kompleks son argumentining asosiy qiymati quyidagi formulalar bilan topiladi:

Trigonometrik shaklda kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish formulalari quyidagicha:
. (7)
Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarishda de Moivre formulasi qo'llaniladi:
Murakkab sondan ildiz chiqarishda quyidagi formuladan foydalaniladi:
, (9)
bu yerda k=0, 1, 2, …, n