În matematică şi informatică, recursivitatea sau recursia este un mod de a defini unele funcţii. Funcţia este recursivă, dacă definiţia ei foloseşte o referire la ea însăşi, creând la prima vedere un cerc vicios, care însă este numai
În matematică şi informatică, recursivitatea sau recursia este un mod de a defini unele funcţii. Funcţia este recursivă, dacă definiţia ei foloseşte o referire la ea însăşi, creând la prima vedere un cerc vicios, care însă este numai aparent, nu şi real.
În matematică şi informatică, recursivitatea sau recursia este un mod de a defini unele funcţii. Funcţia este recursivă, dacă definiţia ei foloseşte o referire la ea însăşi, creând la prima vedere un cerc vicios, care însă este numai aparent, nu şi real.
Recursivitatea e strins legata de iteratie, dar daca iteratia e executia repetata a unei portiuni de program, pana la indeplinirea unei conditii (while, repeat, for), recursivitatea presupune executia repetata a unui modul, insa in cursul executiei lui (si nu la sfirsit, ca in cazul iteratiei), se verifica o conditie a carei nesatisfacere, implica reluarea executiei modulului de la inceputul sau. Atunci un program recursiv poate fi exprimat: P=M(Si,P) , unde M este multimea ce contine instructiunile Si si pe P insusi. Structurile de program necesare si suficiente in exprimarea recursivitatii sint procedurile si subrutinele ce pot fi apelate prin nume. In PASCAL, exista doua tipuri de parametri formali (ce apar in antetul unei proceduri sau functii) : valoare si variabila (ultimii au numele precedat de cuvintul cheie var).
Apelul recursiv al unei proceduri (functii) face ca pentru toti parametrii-valoare sa se creeze copii locale apelului curent (in stiva) , acestea fiind referite si asupra lor facindu-se modificarile in timpul executiei curente a procedurii (functiei). Cind executia procedurii (functiei) se termina, copiile sint extrase din stiva, astfel incit modificarile operate asupra parametrilor-valoare nu afecteaza parametrii efectivi de apel, corespunzatori.
Apelul recursiv al unei proceduri (functii) face ca pentru toti parametrii-valoare sa se creeze copii locale apelului curent (in stiva) , acestea fiind referite si asupra lor facindu-se modificarile in timpul executiei curente a procedurii (functiei). Cind executia procedurii (functiei) se termina, copiile sint extrase din stiva, astfel incit modificarile operate asupra parametrilor-valoare nu afecteaza parametrii efectivi de apel, corespunzatori.
De asemenea pentru toate variabilele locale se rezerva spatiu la fiecare apel recursiv.
Orice subprogram recursiv trebuie să se execute, cel puţin o dată, fără a se autoapela. Condiţia de oprire se va scrie pentru valori extreme ale mulţimii valorilor de testat.
Orice subprogram recursiv trebuie să se execute, cel puţin o dată, fără a se autoapela. Condiţia de oprire se va scrie pentru valori extreme ale mulţimii valorilor de testat.
Autoapelurile trebuie să conducă spre situaţia (situaţiile ) în care subprogramul se execută direct (fără autoapel).
Orice program recursiv poate fi transformat in unul iterativ, dar algoritmul sau poate deveni mai complicat si mai greu de inteles. De multe ori, solutia unei probleme poate fi elaborata mult mai usor, mai clar si mai simplu de verificat, printr-un algoritm recursiv.
Orice program recursiv poate fi transformat in unul iterativ, dar algoritmul sau poate deveni mai complicat si mai greu de inteles. De multe ori, solutia unei probleme poate fi elaborata mult mai usor, mai clar si mai simplu de verificat, printr-un algoritm recursiv.
Dar pentru implementare, poate fi necesara transformarea algoritmului recursiv in unul nerecursiv, in situatiile: -solutia problemei trebuie scrisa intr-un limbaj nerecursiv; un caz particular sint compilatoarele ce "traduc" un program recursiv dintr-un limbaj de nivel inalt in cod masina (nerecursiv) -varianta recursiva ar duce la o viteza de executie si spatiu de memorie prea mari, transformarea in una nerecursiva, eliminind dezavantajele.
Se va prezenta una din metodele de eliminare a recursivitatii ce foloseste o structura de date de tip stiva.
Se va prezenta una din metodele de eliminare a recursivitatii ce foloseste o structura de date de tip stiva.
In scrierea unei varianta nerecursive, trebuie parcursi toti pasii implicati in varianta recursiva, prin tehnici nerecursive.
Recursivitatea implica folosirea a cel putin unei stive. La fiecare apel recursiv sint depuse in stiva niste date, care sint extrase la revenirea din acel apel. E simplu daca datele pentru un apel se organizeaza intr-un record, un apel insemnind introducerea in stiva a unui record, revenirea, extragerea lui.
program var_recursiva;
program var_recursiva;
procedure prel_car;
var car:char;
begin
read(car);
if not eoln then prel_car;
write(car)
end;
begin
prel_car
end.
program var_nerecursiva;
begin
*initializeaza stiva
while not eoln do
begin
read(car);
push(car)
end;
while not stiva_goala do
begin
pop(car);
write(car)
end
end.
Din punct de vedere al modului in care se realizeaza autoapelul ,exista doua tipuri de recursivitate:
Din punct de vedere al modului in care se realizeaza autoapelul ,exista doua tipuri de recursivitate:
1.subprograme direct recursive: - un subprogram Q în corpul căruia există cel puţin un autoapel (Q apelează pe Q) se numeşte subprogram direct recursiv
2.subprograme indirect recursive: - două subprograme A şi B se numesc indirect recusrive dacă se apelează reciproc (A apelează pe B şi B apelează A) .
Pentru a putea fi executat, orice subprogram (nerecursiv sau recursiv) trebuie să fie declarat înaintea modulului apelant. Dacă dorim să scriem suprogramul după modulul apelant,atunci trebuie să facem o declaraţie anticipată a suprogramului respectiv ,cu directiva forward.Presupunem că avem două proceduri A şi B care se apelează reciproc ,scrise în această ordine.Procedura A apelează procedura B,dar modulul apelat B se află după cel apelant A. În consecinţă, pentru ca acest apel să poată fi executat, trebuie să facem o declaraţie anticipată a procedurii B,folosind directiva `forward`:
Pentru a putea fi executat, orice subprogram (nerecursiv sau recursiv) trebuie să fie declarat înaintea modulului apelant. Dacă dorim să scriem suprogramul după modulul apelant,atunci trebuie să facem o declaraţie anticipată a suprogramului respectiv ,cu directiva forward.Presupunem că avem două proceduri A şi B care se apelează reciproc ,scrise în această ordine.Procedura A apelează procedura B,dar modulul apelat B se află după cel apelant A. În consecinţă, pentru ca acest apel să poată fi executat, trebuie să facem o declaraţie anticipată a procedurii B,folosind directiva `forward`:
Algoritmi de traversare si inversare a unei structuri
Algoritmi de traversare si inversare a unei structuri
Traversarea si inversarea unei structuri inseamna efectuarea unor operatii oarecare asupra tuturor elementelor unei structuri in ordine directa, respectiv in ordine inversa.
Desi mai uzuale sint variantele iterative, caz in care inversarea echivaleaza cu doua traversari directe (o salvare in stiva urmata de parcurgerea stivei), variantele recursive sint mai elegante si concise. Se pot aplica structurilor de tip tablou, lista, fisier si pot fi o solutie pentru diverse probleme (transformarea unui intreg dintr-o baza in alta, etc).
{al procedurii se face cu primul element al structurii}
begin
if element <> ultimul_din_structura then traversare(element_urmator);
prelucrare(element)
end;
De observat importanta ca parametrul formal al celor doua proceduri sa fie de tip valoare, pentru a nu fi alterat de apelul recursiv.
O definitie recursiva e cea in care un obiect se defineste prin el insusi. Definitia contine o conditie de terminare, indicind modul de parasire a definitiei si o parte ce precizeaza definirea recursiva propriu-zisa.
Ca exemple: algoritmul lui Euclid de aflare a c.m.m.d.c., factorialul, ridicarea la o putere intrega (prin inmultiri repetate), definirea recursiva a unei expresii aritmetice, curbele recursive, un mod de a privi permutarile, etc.
Tehnica divizarii ("divide and conquer"), fundamentala in elaborarea algoritmilor, consta in descompunerea unei probleme complexe in mai multe subprobleme a caror rezolvare e mai simpla si din solutiile carora se poate determina solutia problemei initiale (exemple: gasirea minimului si maximului valorilor elementelor unui tablou, cautarea binara, sortare Quicksort, turnurile din Hanoi).
Tehnica divizarii ("divide and conquer"), fundamentala in elaborarea algoritmilor, consta in descompunerea unei probleme complexe in mai multe subprobleme a caror rezolvare e mai simpla si din solutiile carora se poate determina solutia problemei initiale (exemple: gasirea minimului si maximului valorilor elementelor unui tablou, cautarea binara, sortare Quicksort, turnurile din Hanoi).
procedure rezolva(x:problema);
procedure rezolva(x:problema);
begin
if {x e divizibil in subprobleme} then
begin
{divide pe x in parti x1,...,xk} rezolva(x1); {...} rezolva(xk); {combina solutiile partiale intr-o} {solutie pentru x}
end
else {rezolva pe x direct}
end;
Metoda se aplica problemelor in care solutia se poate reprezenta sub forma unui vector x=(x1,x2,...xn) c S=S1 x S2 x...x Sn, unde multimile Si sint finite, S numindu-se spatiul solutiilor posibile. In particular, Si sint identice avind acelasi numar M de elemente. Pentru fiecare problema concreta sint date anumite relatii intre componentele vectorului x, numite conditii interne.
Metoda se aplica problemelor in care solutia se poate reprezenta sub forma unui vector x=(x1,x2,...xn) c S=S1 x S2 x...x Sn, unde multimile Si sint finite, S numindu-se spatiul solutiilor posibile. In particular, Si sint identice avind acelasi numar M de elemente. Pentru fiecare problema concreta sint date anumite relatii intre componentele vectorului x, numite conditii interne.
Determinarea tuturor solutiilor rezultat se poate face generind toate solutiile posibile si verificind apoi care satisfac conditiile interne. Dar timpul de calcul ar fi foarte mare (daca multimile Si ar avea numai cite 2 elemente, timpul ar fi proportional cu 2**n).
Metoda backtracking urmareste evitarea generarii tuturor solutiilor. Elementele vectorului x primesc valori pe rind, lui x1 i se atribuievalori, doar daca x1,x2,...,xi-1 au primit deja, valorile atribuite trebuind sa verifice conditiile de continuitate referitoare la x1,x2,...,xi. Doar apoi se trece la calculul lui xi+1. In cazul neindeplinirii conditiilor de continuitate, se alege urmatoarea valoare posibila pentru xi, daca Si a fost epuizat, se micsoreaza i, incercind o alta alegere pentru xi-1.
Metoda backtracking urmareste evitarea generarii tuturor solutiilor. Elementele vectorului x primesc valori pe rind, lui x1 i se atribuievalori, doar daca x1,x2,...,xi-1 au primit deja, valorile atribuite trebuind sa verifice conditiile de continuitate referitoare la x1,x2,...,xi. Doar apoi se trece la calculul lui xi+1. In cazul neindeplinirii conditiilor de continuitate, se alege urmatoarea valoare posibila pentru xi, daca Si a fost epuizat, se micsoreaza i, incercind o alta alegere pentru xi-1.
procedure back1(i:posibilitate);
procedure back1(i:posibilitate);
begin
if acceptabila then
begin
inregistreaza;
if solutie_incompleta then for k:=1 to M do back1(posibilitate_k)
else tipareste_solutia; sterge_inregistrarea
end
end;
Aceasta varianta se foloseste la rezolvarea problemelor: "saritura calului", iesirea dint-un labirint, etc. Se preteaza atunci cind pasul initial este definit si/sau numarul de pasi ai solutie nu este cunoscut.
Subprogramele sunt parti din program identificate printr-un nume, prin intermediul caruia vor fi apelate.
Subprogramele sunt parti din program identificate printr-un nume, prin intermediul caruia vor fi apelate.
Vom scrie subprograme atunci cand:
-anumite instructiuni dintr-un program apar in mai multe locuri;
OBS! Atat procedurile,cat si functiile trebuie declarate inainte de a fi apelate.
Un bloc cuprinde:
Un bloc cuprinde:
o parte optionala, alcatuita din declaratiile de constante, variabile, tipuri;
o parte obligatorie, ce cuprinde instructiuni
OBS!Programele Pascal pot cuprinde mai multe blocuri imbricate(incluse unul in altul).Prin domeniul de valabilitate al unui identificator se intelege zona de program in care este valabila declaratia sau definitia acelui identificator.
OBS!Programele Pascal pot cuprinde mai multe blocuri imbricate(incluse unul in altul).Prin domeniul de valabilitate al unui identificator se intelege zona de program in care este valabila declaratia sau definitia acelui identificator.
Entitatile definite intr-un bloc sunt valabile (vizibile) numai in interiorul blocului , motiv pentru care acestea se numesc entitati locale.Aceste entitati apar la lansarea in executie a blocului si dispar la terminarea executiei blocului.Daca blocul cuprinde blocuri incluse atunci entitatile sunt vizibile si in blocurile imbricate daca nu au fost redefinite , motiv pentru care aceste entitati se numesc entitati globale.
OBS! Domeniul de valabilitate al unei variabile este blocului in care au fost declarate, inclusiv in blocurile incluse daca in acestea nu au fost redefinite.
a)Apelul procedurilor:
a)Apelul procedurilor:
Apelul procedurilor se face printr-o instructiune de apel de forma `nume(lista prametri efectivi)`, unde `nume` reprezinta numele procedurii, iar lista parametri efectivi(actuali) reprezinta variabilele cu care lucreaza efectiv subprogramul.
b)Apelul functiilor :Se face printr-o instructiune de apel de forma variab:=nume(lista parametri efectivi); unde `nume` reprezinta numele functiei ,lista parametri efectivi reprezinta parametri efectivi.
b)Apelul functiilor :Se face printr-o instructiune de apel de forma variab:=nume(lista parametri efectivi); unde `nume` reprezinta numele functiei ,lista parametri efectivi reprezinta parametri efectivi.
OBS! Parametri efectivi trebuie sa corespunda ca numar, tip si ordine cu parametri formali.
