Nazariy fizika kursi

2
=  —
— До. Bu yerda До - vaku-
Mi + М
2
Mi + М2
umdagi kuchlanganlik, H i , Д
2
- Mi va М
2
muhitlardagi kuchlanganlik.
11.7. z = 0 tekislikni ikki muhitni chegaralovchi tekislik va 
2 
o'qining musbat yo'nalishi birinchi muhitga yo'naltrilgan deb olamiz. 
Masalani yechishda elektr tasvirlash metodi kabi metoddan foydalana- 
miz. Bu holda vektor potensiallarni quyidagi ko'rinishda qidiramiz:
M i / /
d l
 
, Mi 
I  
/ ’ 
d l'
A i 
= —
i - + k i ^ - i —  
2
> 0, 
с J г 
с J r '
A 
u I121 I d l
A 2 = k
2
----- Ф — 
2
< 0,
с J r
Chegaraviy shartlardan nom aium koeffitsientlarni aniqlaymiz:
7
. _
^2
- Mi 
_
2mi
1 
, 
7 
^2
М2 + Ml 
М2 + Ml
1 
1
1 2 .1 . 
= -------— = -SB u ;sin (u ;£ +
ffo)
с dt 
с
bu yerda 0O - 
t 
=  0 momentda kontur tortib turgan sirtga o'tkazil­
gan normali va maydon yo'nalishi orasidagi burchak.
L
j
d l
12.2. Konturdagi tok -x — + R I = Sind tenglama bilan aniqlanadi.
c z d t
Bu tenglamani 12.1-masala yechimidan foydalanib integrallasak, quyi­
dagi natijani olamiz:
г
л 
(
v
s b
 
. . 
n
I  = A „e x p
t j + ^
=
=
5
=
5 = 5
sm(o,t + « „ - « .
ui jL
Bu yerda t g ф = ~
2
~Ц> Ao- boshlang'ich tok kuchiga bog'liq bo'lgan 
integrallash doimiysi.
322

---

12.3. Zanjirdagi tok kuchi I0 = —
- -  ga teng: R 2 qarshilik
qisqa tutashtirilgandan keyin zanjirdagi tok kuchi quyidagi differensial 
tenglama bilan aniqlanadi:
L d l 
„
J d i + R l I = £ -
Bu tenglamani integrallash (t = 0 da I =  70 boshlang'ich shartlarni 
hisobga olganda) natijasida quyidagini topamiz:
i - L
R,
R
2
 
(
1 _ Ж Т Ж в ч > Г
_ Г '
12.4. Kondensator qoplamalari orasidagi potensiallar farqi q/C 
ga teng bo'lgani uchun tokni aniqlovchi tenglama quyidagi ko'rinishda
yoziladi: 
— 4- R I =  ^ . Konturdagi tok kuchi I  =
Buni oldingi 
tenglamaga qo'yamiz:
L cP q
dq 
q_ _  
c2 dt2 
dt 
С
Bu tenglamaning umumiy yechimini q = A ie klt + А 2еы  ko'rinishda 
yozish mumkin, bu yerda
= - W ”2 - -I; 
=
 
■
Boshlang'ich shartlardan (t = 0 da q = qp; I =  0) foydalanib nom a’lum 
koeffitsientlarni topamiz:
a
_
k2 
k\
1 ~ I ------ТГ ' 
A 2 = ------- — • q0.
k2 ~ k\
k i ~ k 2
12.5. Konturlardagi toklar quyidagi differensial tenglamalar bilan 
aniqlanadi:

---

U
j
г
d Q i
T
-
 
d q
2
bu y
e
r
d
a
~
12.6. 
О nuqtadan r masofada joylashgan sterjen uzunhgining 
elementi v = u r tezlik bilan harakatlanadi. Shu elementda induk­
siyalangan EYuK d£ind = -H v d r =  - H rd r. Sterjendagi to'liq EYuK
с
l
ш 
Г
 
l w
Sind = - H
 
/ rdr = - -  
с 
J 
2 с
l u m 2.
12.7. 
L = 2 //In(b/a). 
12.8. 
L = Anv^S.
12.9.
L =  ^/io + 2/i In - .
ч 
/ \ 
tt
f s h 2(x/6) + cos2(x / S )\ 1^2 
4тг
12.10.
a H {x ) = Я 0 — 277Tn---------57Г7К 
’ Я ° = ~ 7 /on;
' 
v 
\sh2(/i/J ) + cos2(h/6)J 
с
h — |x|
* -
, „ C 
Ъ) H (x) - I я ° ехр
5 C h :
[ Ho, 
s ^ h .
12.11a. ^ + —
p =  0, bundan p = p (r )e x p
dt 
£ 
\
12
.
1 1
b. 
r =
12
.lid . H = 0 ,
E = E (r) exp 
f —
7
^ )  
47Г7 
\ 
£ 
/
Л
12.12. — (eE) +  
47
Г
7
E
 = 
0, 
H
 =
0, 
o t
E ^
t) = W
i  а д « ч > ( - 4 я / 2 < й - ) .
/ fc2c2\ 
l 
47Г7 у
12.13. 
Hy — Ho sin kx exp
o.A
13.2. 
e(w) =
1 — iaui
13.3. £ x = Лехр[г(Ь 
-
u>t)], 
Hy 
= 
A ex p [i(k z  -
wt)],
^ 
U)
E y = E z - Hx = H z = 0. A o'zgarmas, A: = -%/£&■
13.4.
£ * = 0, 
Hx = 0,
Ey = A exp ( —ii), Я у = - п А е х р ( - 1 ф 2) ,
E z = А е х р ( - г ф 2) , H z = + n A e x p (-г ф \ ).
Bu yerda A o'zgarmas, к = nuj/c, ф]_ — kx + cut, ф2 = kx + wt — 7r/2.
324

---

Ilova
Asosiy matemanik formulalar
Nazariy fizikaning elektrodinamika kursini o'rganishda asosiy matematik 
apparat vektor analiz bilan bog‘liq bo'lganligi uchun o'quvchi vektor analiz 
bilan tanishligini hisobga olib, bir qator asosiy formulalarni keltiramiz.
A .l Vektorlar algebrasi
Ma'lum o'lchov birligida olingan son qiymati bilan to‘la aniqlanuvchi 
kattalik skalyar deyiladi. Hajm, zaryad, massa, elektr maydon potensiali va 
shunga o‘xshash kattaliklar skalyarga misol bo‘ladi.
Ma'lum o‘lchov birligida olingan son qiymati va yo'nalishga ega bo‘lgan 
kattalik vektor deyiladi. Vektor kattalikning boshqa ta’riflari ham mavjud. 
Kuch, kuch momenti, tezlik, maydon kuchlanganligi va boshqalar vektorga 
misol bo'ladi.
Skalyar va vektorganing matematik ta’rifini: N o'lchovli fazoda koor­
dinata o'qlarini burishda o'z qiymatini o'zgartirmaydigan kattalik skalyar 
(invariant) deyiladi. Bunda skalyar N o'lchovli fazoda aniqlangan deyiladi.
Vektorning matematik ta’rifini: N o'lchovli fazoda koordinata o'qlarini 
burishda
N
Aj — ^ ^ cxtk А к 
k = 1
formula bilan almashadigan qandaydir A-i kattaliklar to'plami vektor deyiladi. 
atik almashtirish matritsasi bo'lib, det a = 1 shartni qanoatlantiradi. Masalan, 
uch o'lchovli fazoda a ik boshlang'ich sistemaning “k” va burilgan sistemaning 
“i” o'qlari orasidagi burchakning kosinusiga teng.
Vectorlar va ular ustida amallar bilan bog'liq bo'lgan asosiy formulalarni 
keltiramiz:
a = axi + ayj + azk , 
(A.63)
bu yerda i, j, к - x, y, z o'qlari bo'ylab yo'nalgan birlik vektorlar (ortlar), 
ox, ay, az - a vektorning mos ravishda x, y, z o'qlarga bo'lgan proeksialari.
Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi:
( ab) = (6a) = a6cos(a, b) = axbx 4- ayby 4- azbz = ab. 
(A.64)
325

---

[aft] = — [fea] = (aybz - a2by)i + (azbx - axbz)j +  (axby - aybx)k. 
(A.65)
Ikki vektorning vektor ko'paytmasining moduli:
|[ab]| = abs\n(a, b). 
(A.60)
Uch vektorning aralash ko‘paytmasi:
(a[6cj) = (6[ca]) = (c[afe]). 
(A.67)
Uch vektorning vektor ko‘paytmasi:
[a[bc]] = b(ac) — c(ab). 
(A.68)
Fazo inversiyasida (r —> (—r)) fazoviy orientatsiyasi o'zgarmaydigan 
vektorlar qutb vektor deyiladi.
a(r) = a ( - r ) .
(A.69)
Radius vektor, chiziqli tezlik, kuch, impuls va elektr maydon kuchlanganligi 
qutb vektorga misol bo'ladi.