O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim, Fan va Innovatsiyalar Vazirligi

Mavzuning dolzarbligi: Hozirgi kunda hayotimizda juda ko‘p masalalarning matematik modeli, albatta differensial tenglamalar va integrallar orqali ifodalanadi. Bularni sonli yechishda sonli metodlardan foydalanamiz. Ushbu kurs ishida Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurish, interpolyatsion kvadratur formulalar va yuqori tartibli kvadratur formulalar keltirilgan va tahlil qilingan. Ma’lumki, ba’zi bir obyektlarni matematik modellashtirishda jism sirti va hajmini, jism og‘irlik markazi va inersiya momentini, biror kuch ta’sirida bajarilgan ish miqdorini aniqlashga to‘g‘ri keladi. Bu kattaliklarni aniqlash, masalaning berilishiga bog‘liq ravishda berilgan analitik funksiyani biror oraliqda aniq integrallashga keltiriladi.
Kurs ishini maqsadi va vazifasi: Mathcad tizimida ishlashni o‘rganish, Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurish o‘rganish, kvadratur formulalar qurishni o‘rganish va yuqori tartibli kvadratur formulalar qurishni o‘rganish. Gauss kvadratur formulasi va uning tadbiqlarini o‘rganish. O‘rganib chiqilgan metodlarni amalda qo‘llash uchun Mathcad tizimi imkoniyatlarini ko‘rsatish. Aniq va taqribiy yechimlar orasidagi farqlarni tahlil qilish.

1.Kubik splayn qurish

Funksiyani interpolyasion ko‘phad yordamida yaqinlashtirish, ko‘phad yuqori tartibli bo‘lganda hisoblash xatoliklarining yig‘ilib borishi natijasida yomon yaqinlashadi. Shuning uchun [ oraliqni kichik oraliqlarga ajratib har birida yaqinlashtiruvchi ko‘phad ko‘rish ancha yaxshi natija berishi aniqlanadi. hap bir bo‘lakda ko‘phaddan iborat va ma’lum tartibli uzliksiz hosilalaga ega bo‘lgan funksiya splayin deb aytiladi. Splayn yaqinlashtirish ko‘phad bilan yaqinlash-tirishdan afzalligi shundan iboratki u: Birinchidan: funksiyaga yaqinlashadi, Ikkinchidan : hisoblash jarayoi turg‘undir.
1.Kubik splaynni qurish. Faraz qilamiz [ kesmada aniqlangan uzliksiz funksiya berilgan bo‘lsin.

to‘rni aniqlab, deb belgilaymiz. funksiyaga va tugun nuqtalarga mos splayn deb quyidagi shartlarni qanotlantiruvchi funksiyaga aytiladi:

1. 
   Har bir [ ] sigmentda funksiya uchunchi darajali ko‘phad;
   
2. 
   funksiya va uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari [ da
   

uzliksiz;

3. 
   
   

Oxirgi shart interpolyasiyalash shartlari deb aytiladi, splayn esa interpolyasiyalaydigan splayn deb aytiladi. Yuqorida qayd etilgan splayn mavjud va yagonaligini isbot qilamiz. Quyida keltiriladigan isbot splaynni qurish usulini ham aniqlaydi Har bir kesmada, ni
(1.1)
ko‘rinishda izlaymiz .
Bu erdagi koeffitsientlar aniqlanishi lozim bo‘lgan noma’lum koeffitsientlar ma’nosini aniqlaymiz .


tengliklarga egamiz, shuning uchun

interpolyasiya shartlaridan.
larni hosil qilamiz.
deb aniqlaymiz. ning uzliksizlik shartidan. Bundan, ifodasini inobatga olib uchun

tengliklarni hosil qilamiz

deb belgilab, bu tenglamalarni

ko‘rinishlarda yozib olamiz Birinchi tartibli hosilaning uzluksizligi
= tenglamalarga olib keladi. Ikkinchi tartibli hosilaning uzliksizligidan
(1.4)
tengliklar hosil bo‘ladi. Tengliklar (2) - (4) ni birlashtirib

noma’lumlarga nisbatan 3N – 2 ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ikkita etmaydigan tenglamani hosil qilish uchun ga u yoki bu chegaravi shartlar quyadigilar, Masalan deb olish mumkin. Unda bo‘lishini talab qilish tabiydir. Bundan ya’ni tenglamalar hosil bo‘ladi.
shartdan bo‘lganda (4)- bilan bir xil bo‘ladi. Shunday qilib kubik splaynning koeffitsientlarini aniqlash uchun quydagi yopiq sistemaga kelamiz


Bu sistemaning yagona yechimga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Sistema (1.5)-(1.7) dan noma’lumlarni yo‘qotib,faqat no- ma’lumlar qatnashadigan sistemani hosil qilamiz. Buning uchun tenglamalar (1.7) dan ikki qo‘shnilarni qaraymiz:

Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib

tenglikni hosil qilamiz. Ayirma uchun topilgan ifodani (1.6) – ning o‘ng tomoniga qo‘yib,
yoki

tenglikni hosil qilamiz. Tenglik (1.5) dan tengliklarni hosil qilib ,bularni (1.8)-ga qo‘ysak ,

tenglik hosil bo‘ladi. koeffitsientlarni aniqlash uchun


tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistema matritsasining dioganal elementlari boshqa elementlarga nisbatan ancha katta bo‘lganligi uchun uning echimi mavjud va yagonadir. Bu sistema uch diagonalli bo‘lganligi uchun progonka usulida yechish mumkin. bu holda progonka metodi turg‘undir. Aniqlangan bo‘yicha va koeffitsientlarni oshkor formulalar ko‘rnishida yozish mumkin

Shunday qilib, tenglamalar (1.1) -(1.3) va chegaraviy shartlar bilan aniqlanadigan yagona splayn mavjudligi ko‘rsatildi. Boshqa chegaraviy shartlar bilan ham masalani qarash mumkin ekanligini ta’kidlaymiz.
2.Kubik splayn bilan interpolyasiyalash jarayonining yaqinlashishi.
Bu yerda kubik interpolyasion splaynlarning tugun nuqtalar soni N cheksizga intilganda interpolyasiyalanuvchi funksiyaga intilishini ko‘rsatamiz. Interpolyasion splayn bilan f (x) orasidagi farq U (x) = f (x) – S (x) funksiya silliqlik tartibiga va tugun nuqtalarining joylashishiga bog‘liq. Soddalik uchun nuqtalari tekis joylashgan to‘rlar ketma–ketligini qaraymiz :

bu yerda
h =
Bu holda sistema (9) ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi
bunda
f (x) funksiya [a,b] oraliqda to‘rtinchi tartibli uzliksiz hosilaga ega deb talab qilamiz:
f(x)
Bundan tashqari

chegaraviy shartlari bajarilsin, xuddu shunday shartlar splayn uchun hambajarilsin
deb shart qo‘yamiz.
deb belgilaymiz Faraz qilamiz , f(x) funksiyani [a,b] oraliqda to‘rda interpolyasiyalaydigan splayn bo‘lsin. Quyidagi teoremada f (x) funksiya va uning va hosilalarining interpolyasiya xatolari bahosi keltirilgan.
1-teorema. Agar
f(x)
bo‘lsa ,
(2.2)


baholar o‘rinli bo‘ladi Bu tengsizliklardan, h larning larga i=0,1,2 intilishi kelib chiqadi.Bu teoremani isbot qilish uchun xatolikni baholovchi lemmani keltiramiz .

deb belgilaymiz .1- lemma. f(x) uchun

Isbot. bo‘lganligi uchun, bu erda - sistemaning yechimi, xatolikning bahosini toppish kifoya. ni (11) –ga qo‘yib
, i=1, 2, …, N-1,
tenglamalarni hosil qilamiz, bu erda

Sistema (2.6) yechimini - o‘ng tamonlar orqali baholaymiz. Buning uchuin (2.6)-tenglamani ko‘rinishida yozamiz. Bundan
4
kelib chiqadi Bu tengsizlik barcha i- lar uchun o‘rinli bo‘lganligi uchun, y maksumiga
erishadigan uchun ham, ya’ni uchun ham o‘rinli bo‘ladi .
Shuning uchun

ya’ni

bajariladi. Bundan (2.5)-bahoni hosil qilish uchun ni baholash lozim. Bunda lar tenglik (2.7) yordamida aniqlangan.

ko‘rinishida yozamiz va Teylor formulalaridan foydalanamiz.

munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Xuddi shunday usul bilan

tenglikni hosil qilish mumkin. (2.9)- dan

kelib chiqadi. Bundan
| | b chiqadi .
Tengsizlik (2.8)-dan

ekanligi ma’lum bo‘ladi. 1- lemma isbot bo‘ldi.
Endi 1- teoremani isbot qilishga o‘tamiz . Eng avval baho (2.4) ning o‘rinli
ekanligini ko‘rsatamiz. [ ] i=1, 2, ..., N kesmani qaraymiz. Bu kesmada
ga shunday birinchi darajali ko‘pxadni qo‘shib ayiramizki,
- birinchi darajali ko‘phad ni va nuqtalarda
interpolyasiyalasin.
Unda quyidagiga ega bo‘lamiz :
|+
O‘ng tomonidagi hadlarini alohida – alohida baholaymiz . birinchi darajali ko‘pxad ni intorpolyasiyalovchi qo‘shhhad ekanligi uchun, interpolyasiya xatoligini baholash formulasidan:

).
ko‘rinishda bo‘ladi. Shuning uchun
Bo‘ladi lemmaga asosan
(2.12)
baho hosil bo‘ladi. Tengsizlik (2.10)-dan (2.11)- va (2.12)-larga asosan ixtiyoriy x uchun
(2.13)
hosil bo‘ladi ,i=1,2,…,N ixtiyoriy bo‘lgani uchun (2.14)-baho o‘rinli ekanligi kelib chiqadi .
Endi baho (2.13) ning o‘rinli ekanligi ni ko‘rsatamiz. kesmada r(x) =f(x)- funksiyani qaraymiz r bo‘lgani uchun shunday nuqta topiladiki r
Shu sababli | =| |=| bo‘ladi. Shunday qilib | bo‘ladi, Agar (14) ni inobatga olsak | bo‘lishi va bundan (13)-kelib chiqadi . baho (12) ni isbot qilish kerak.
g(t)=f(t)- (t- )(t ) (2.14)
K doimiy son x ni g(x)=0 shartdan aniqlaymiz, ya’ni
K=
g(x)=g )=g( )=0 ga egamiz. Shuning uchun shunday ξ topiladiki
,

bo‘lgani uchun , ya’ni
f(x)- . bo‘ladi.
Bundan va (2.14)-dan | f(x)-
baho hosil bo‘ladi. Bundan baho (2.12) kelib chiqadi.

3.Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasi.

Teng oraliqlar uchun qo‘llaniladigan interpolasiyalash formulalariga Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari, Gausning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari Stirling va Bessel formulalarini ko‘rsatish mumkin. Tengmas oraliqlar uchun interpolasiyalash formulalariga Lagranj va Nyuton formulalarini misol qilib ko‘rsatish mumkin.
Argumentning teng oraliqda bo‘lgan qiymatlari uchun interpolasiyalash. Funksiya f(x) ning berilgan (n+1) ta har xil x_0, x_1, x_2, …, x_n nuqtalardagi qiymatlariga ko‘ra, shu funksiyaning qaralayotgan oraliqning x [ x_0,,x_n] nuqtasidagi qiymatini topish talab qilingan bo‘lsin. Interpolasiyalash ko‘phadi L_n (x) ni tuzamiz, bu ko‘phadning qiymati berilgan nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymati bilan mos tushishi lozim. L_n (x_i)= f(x_i), i=0, 1, 2, …, n. (1) L_n (x) ko‘phad interpolasiyalash ko‘hadi deyiladi. Funksiya f(x) ning qiymatini formula f(x)= L_n (x) bilan taqribiy topish, f(x) funksiyani algebraik ko‘phad bilan interpolasiyalash deyiladi. Agar x nuqta barcha x_0, x_1, x_2, …, x_n nuqtalarni o‘z ichiga oluvchi kesmadan tashqarida bo‘lsa, bu holda f(x) funksiyani formula (1) bilan taqribiy almashtirish ekstropolasiyalash deyiladi. Agar x_i+1-x_i= x_i=h=const, i=0, 1, 2, …, n-1 bo‘lsa, interpolasiyalash tugunlari teng uzoqlikda yoki teng oraliqda joylashgan deyiladi. Funksiya y=f(x) ning chekli ayirmalari deb, quyidagi ko‘rinishdagi ayirmalarga aytiladi.
y_i=y_i+1-y_i –birinchi tartibli chekli ayirma,
²y_i= y_i+1- y_i—ikkinchi tartibli chekli ayirma, va hokazo,
^ky_i= ^k-1y_i+1- ^k-1y_i—k-tartibli chekli ayirma.
Xuddi shu tariqa, indeks I sonning manfiy qiymatlari uchun xam chekli ayirmalar kiritish mumkin:
y_-(i+1) = y_-i-y_-(i+1),
²y_-(i+1) = y_-i- y_-(i+i),
^ky_-(i+1) = ^k-1y_-1- ^k-1y_-(i+1).
bu formulalarda y_i= f(x_i)=f_i (3.1)
Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari. Nyutonning birinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning oldinga interpolasiyalash formulasi quyidagi ko‘rinishga esa
_{( 3.2)}
bu yerda q=(x-x₀)/h.
Formula (2) ning qoldiq hadi
, [x₀, x_n] formulasi bilan aniqlanadi.
Formula (2) y=f(x) funksiyani x ning x₀ nuqtaga yaqin bo‘lgan qiymatlarida interpolasiyalashda, ya’ni q ning qiymati kichik bo‘lganda qo‘llaniladi. Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning orqaga interpolasiyalash formulasi deyiladi. Bu formula
(3.3)
ko‘rinishga ega, bu erda q=(x-x_n)/h. Formula (3) ning qoldiq hadi

bo‘yicha aniqlanadi, bu yerda [x₀,x_n].
Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi (3.3) dan x ning qiymati x_n nuqtaga yaqin bo‘lganda interpolasiyalashda foydalaniladi.
Interpolyatsiyalash amaliy masalalarni hal qilishda qo‘llaniladigan unumli usullardan biri hisoblanadi. Bu usulda acosan ikkita masala qo‘yiladi.

1. 
   Berilgan funktsiyani o‘ziga yaqin funktsiya bilan (mahlum xatolikda)
   

almashtiriladi.

2. 
   Funksiyaning jadvaldagi qiymatlariga acoslanib, uning analitik ifodasini
   

(ma’lum xatolikda) topiladi.
Bu masalalarni hal qilish uchun bir necha usullar mavjuddir. Ko‘phollarda (amaliy masalalarni hal qilishda) funktsiyani ko‘phad bilan almashtirish maqsadga muvofiq bo‘ladi va olingan ko‘phad interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladigan interpolyatsiyalash ko‘phadini qurish usullari bilan tanishamiz.
Aytaylik, [a,b] kesma biror usul bilan n ta bo‘laklarga bo‘lingan bo‘lib, bo‘linish nuqtalari
a=x₀₁<…_n=b
ko‘rinishda belgilangan bo‘lsin. Bo‘lish natijasida olingan x_i,(i=0,1,2, … n) nuqtalar tugun nuqtalar, tugun nuqtalar to‘’lami _n={x_i i=0, 1, 2,…,n} esa [a;b] kesmada kiritilgan to‘r deb yuritiladi. Agar to‘rda, yahni tugun nuqtalarda, f(x) funktsiyaning
f(x_i)=y_i (i=0, 1, 2, …, n) (3.4)
qiymatlari mahlum bo‘lsa, uni [a,b] kesmada darajasi n dan katta bo‘lmagan