O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti

Lagranj tenglamasi

Lagranj tenglamasi deb

y=x( )+( ) (1)

ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi.

Bu tenglama ham parametr kiritish bilan sodda integrallanadi:
= deb,
y=x()+()
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani x ga nisbatan differensiallab
(2)
Hosil bo’lgan tenglama x() va dx/d ga nisbatan chiziqli tenglamadir. Uni yechib F(x, ,c)=0 ni hosil qilamiz. Demak, Lagranj tenglamasini yechimi

parametrik ko’rinishda bo’ladi.
(2) tenglamani hosil qilishda deb qaralgan edi. Demak, bunda =const yechimlar, agar ular mavjud bo’lsa, yo’qotilgan edi. =constbo’lsa, uholda (2) tenglamafaqat ,bo’lgandabajariladi.
Demak, agar tenglama haqiqiy r=r_i ildizlarga ega bo’lsa, yuqoridagi yechimlarga yana
y=x ()+(), =_i

yechimlarni ham qo’shish kerak bo’ladi.

Klero tenglamasi

-()0 bo’lsin. d/dx ga bo’lishdan =с, с=const yechimlar yo’qotilgan bo’ladi. Bu holda ( )= bo’lib, (1) tenglama

y=x +( ) (3)
ko’rinishiga keladi va bu tenglama- Klero tenglamasi deyiladi.
Bu teglamani yechish uchun = deb belgilash kiritamiz.
Natijada y=x+() ni hosil qilamiz.
Bu tenglamani x bo’yicha differensiallab
=+xd/dx+’()d/dx
yoki

tenglamani hosil qilamiz. Bundan d/dx=0, demak =C yoki x+’()=0.
=с da yechimdan
y=Cx+(c)
ikkinchi holda esa yechim

ko’rinishda bo’ladi.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, ....с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

1. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, ....с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.