O`zbekiston respublikasi

Bolsano-Veyershtrass teoremasini
isbotsiz keltiramiz.
5-teorema (Bolsano-Veyershtrass teoremasi). 
fazoda har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish
mumkin.

---

5
0. Xususiy hоllar.
bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik sonlar ketma-ketligi bo’ladi.
bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik tekislik nuqtalaridan iborat
ketma-ketlik bo’ladi. Bu ketma-ketlikning limiti va sonlar ketma-ketliklarining limitlari orqali
o’rganiladi.
Masalan, ushbu 
ketma-ketlik limitga ega bo’lmaydi, chunki
ketma-ketliklar limitga ega emas.
FAZODA KETMA-KETLIK VA UNING LIMITI
Natural sonlar to’plami Nva fazoda berilgan bo’lib, F xar bir n (nєN) ga fazoning biror muayyan
nuqtasini mos quyuvchi akslantirish bo’lsin:
F:n → yoki
Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:
………………………………
F:n →akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan
x(1)x(2)… x(n)…(1) to’plam ketma-ketlik deb ataladi, va u {x(n)} kabi
belgilanadi. Xar bir x(n)ni ketma-ketlik xadi deyiladi. Demak (1) ketma-ketlik xatlari fazo
nuqtalaridan iborat ekan. Shuni xam ta’kidlash kerakki {x(n)} ketma-ketlikning mos koordinatalaridan
tuzilgan.
{x1(n)}, {x2(n)},… {xm(n)}lar sonli ketma-ketlik bo’ladi {x(n)} ketma-ketlikni shu m ta ketma-
ketlikning birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin.
Misol.
2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi (Rda) xaqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti
tushunchasi kabi kiritiladi.
fazoda biror x1(n)x2(n)… xm(n) … (1) ketma-ketlik va biror

---

a = (a1, a2,… am) є nuqta berilgan bo’lsin.
Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε0son olinganda xam , shundayn0 є N,topilsaki barcha
n n0uchun ρ (x(n)a)bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb ataladi va yoki da kabi
belgilanadi
a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif : a nuqtaning U ε (a)atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror hadidan boshlab,
keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a nuqta { x(n)}ketma-ketlikning limiti deb ataladi.
Misol { x(n)} = {(-1)n+1, (-1)n+1}ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi ko’rsatilsin.
Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a1a2) ga teng bo’lsin. U holda ta’rifga
ko’ra ε0(jumladan ε =1) uchun n0 єNtopiladiki n n0 lar uchun.
bo’ladi 

Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi.
fazoda{x(n)}={x1(n)x2(n)… xm(n) }ketma -ketlik berilgan bo’lsin, u limitga ega bo’lsin.u holda
limit ta’rifiga ko’ra, ketma ketlikning biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning Uε(a)sferik
atrofiga tegishli bo’ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo’ladi
Demak hadlari { x(n)}ketma-ketlikning o’sha n0 hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning
atrofida yotadi, ya’ni barcha nn0lar uchun xn ) = {(x1, x2 … xm) є ; a1-ε 11+a2a2 – ε 2 2+ ε, …

am – ε mm+ ε}bo’ladi.Bundan esan n0 lar uchun bo’lishi kelib chiqadi.Demak  ε 0 olinganda
ham shunday n0єN topiladiki, barch n n0 lar uchun. │x1(n) - a│2(n) - a│m(n) - a│bu esa
ekanligini bildiradi.Shunday qilib {xn} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning
koordinatlaridan tuzilgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos
ravishda a ning koordinatlariga teng.Demak Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan
tashkil topgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos
koordinatlariga teng bo’lsinYani U xolda limit ta’rifiga ko’ra  ε 0 son olinganda ham ga ko’ra
shundayn0(1)є N topiladiki n n0(1) lar uchun│x1(n)–a1│n0(2)єN topiladiki n n0(2) lar uchun
│x2(n)– a2│bo’ladi.Agar n0= max {n0(1), n0(2), … n0(m)} deb olsak unda barcha nn0uchun bir
yo’la │xi(n) – ai│tengsizliklar bajariladi. U holda bo’lib,undan 

(