O’zbekiton Milliy Universiteti Jizzax Filiali

---

O’zbekiton Milliy Universiteti Jizzax Filiali 
«Sirtqi bo'lim» «Axborot tizimlari va texnologiyalari» yo'nalishi.
«Matematik analiz» fanidan
MUSTAQIL ISHI
Bajardi: Maxmudova J.
Tekshirdi: Do'stov R.
Jizzax
2023-2024

---

Mavzu: Uzoqlashuvchi qatorlarni jamlanmasi
Xosmas integrallar uchun absolyut va shartli yaqinlashishlar kiritilgani kabi, sonli qatorlar uchun ham
absolyut va shartli yaqinlashish tushunchalarini kiritish mumkin.
Ta’rif. Agar
qator yaqinlashuvchi bo’lsa,
qator absolyut yaqinlashadi deymiz.
Umumiy taqqoslash alomatidan har qanday absolyut yaqinlashuvchi qatorning yaqinlashuvchi ekani
bevosita kelib chiqadi. Ta’rif. Agar (9.3.2) qator yaqinlashib, (9.3.1) qator uzoqlashsa, (9.3.2) qator
shartli yaqinlashadi deymiz.
Avvalgi paragraida o'rganilgan Koshi va Dalamber yaqinlashish alomatlari aslida berilgan qatorning
absolyut yaqilashishini kafolatlaydi. Shartli yaqinlashuvchi qatorlarni o‘rganish, ya’ni ular uchun
yaqinlashish alomatlarini aniqlash, ancha nozik masalalardandir. Quyida biz shunday alomatlardan
ba’zilari bilan tanishaniiz.
Navbatdagi yaqinlashish alomati quyidagi
maxsus ko‘rinishdagi qatorlarga qo'llanadi, bunda akva bklar haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan biri
ishorasini saqlasa, ikkinchisi, masalan ak, turli ishorali qiymatlar qabul qilishi mumkin. Bu alomat
birinchi tur xosmas integrallar uchun Dirixle-Abel yaqinlashish alomatining diskret ko'rinishidir.
9.3.1 - teorema (Dirixle-Abel alomati). Agar akketma-ketlikdan tuzilgan (9.3.2) ko‘rinishdagi qator
qismiy yig‘indilari chegaralangan bo‘lsa, ya’ni
va b kketma-ketlik monoton kamayib,
nolga intilsa,
u holda (9.3.3) qator yaqinlashadi.
Isbot. Snsimvol orqali ∑ akqatorning qismiy yig'indilarini belgilaylik. U holda
bo'ladi va shu sababli istalgan n ≥ m nomer uchun
tenglikka ega boiamiz.

---

Demak,
Modomiki, (9.3.4) shartga ko‘ra, |Sn| ≤ M ekan, oxirgi tenglikdan
bahoni olamiz.
(9.3.5) monotonlik: shartiga asosan |bk- b k+1| - bk-bk+1Shunday ekan, oxirgi tengsizlik o`ng
tomonidagi yig'indi aynan Mbm+1- Mbn+1ga teng bo‘ladi. Bundan chiqdi,
Nihoyat, (9.3.6) shartdan foydalansak, (9.3.7) tengsizlik chap tomonidagi yig'indining nolga intilishi
kelib chiqadi. Demak, Koshi kriteriysiga asosan, (9.3.3) qator yaqinlashar ekan
Ta’rif. Agar barcha bkk = 1.2,3,... sonlar musbat bo‘lsa,
ko‘rinishdagi qator ishorasi navbatlashgan qator deyiladi. 9.3.2 - teorema (Leybnits alomati). Agar bk
musbat sonlar ketma-keuigi monoton ravishda nolga yaqinlashsa, (9.3.8) ishorasi navbatlashgan gator
yaqinlashuvchi bo ‘ladi. Isbot. Agar ak = (-1)k-1desak va
deb belgilasak, ravshanki, S1= 1,S2= 0 va umuman
tengliklar bajariladi.
Shunday ekan, Snyig‘indilar ketma-ketligi chegaralangan bolib, biz 9.3 1 - teoremani qo'llashimiz
mumkin. Bu teoremadan esa (9.3.8) qatorning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi.
9.3.1 - misol. Ushbu
qatorni yaqinlashishga tekshiring. Leybnits alomatiga asosan, bu qator istalgan a 0 lar uchun
yaqinlashuvehidir. Ammo shuni aytish joizki, 9.2.2 paragrafdagi misolga ko‘ra, (9.3.9) qator 0 9.3.2 -
misol tariqasida qatorni qaraylik,Bu qatoming yaqinlashishini ko'rsatish vauning yig'indisini
hisoblashuchun quyidagiTeylor formulasidan foydalanamiz, bunda fin-ы qoldiq had
Lagranjko‘rmishida olingan bo'lib, ya’nibo‘lib, Ԑ = Ԑ n(x) bilan 0 Xususan, agar x = l bo‘lsa,bo‘lib,
qoldiq hadbahoni qanoatlantiradi.Endi Sn orqali (9.3.10) qatorning qismiy yig'indisini belgilasak,
oxirgi tenglikdanmunosabat kelib chiqadi.Ravshanki, (9.3.11) bahoga ko‘ra,Shuning uchun,ya’ni
(9.3.10) qator yaqmlashar va uning yig'indisi ln2 ga teng ekan. Bu qatorning juft 2n nomerii qismiy
yig'indisini quyidagi ko'rinishda yozib olamizEndi (9.3.10) da, har bir musbat haddan keyin ikkita
manfiy had keladigan qilib, hadlarini c`rnini almashtiramiz:Albatta, bunday almashtirish natijasida
hosil bo‘lgan qator (9.3.10) qatordan faqat hadlarining joylashish tartibi bilan farq qiladi. Agar yangi
(9.3.13) qatorning qismiy yig‘indisim S'nsimvol bilan belgilasak,uning 3n nomerii qismiy yig‘indisini
koi'inishda yozish mumkin. Bu tenglikni o‘ng tomonidagi har bir qavsda birinehi ikki kasrni umumiy
maxrajga keltirsak, munosabatga ega bo'lamiz. Hosil bo‘lgan tenglik bilan (9.3.12) tenglikni

---

taqqoslab,ni olamiz. Natijada, boshlang'ich (9.3.10) qator yig'indisi S va hadlarining o‘rm
almashtirilgan (9.3.13) qator yig'indisi S' o'zaro quyidagi tenglik bilan bog'langanligini ko'rish qiyin
emas:ya’ni (9.3.10) qator yig'indisi, hadlarining joyi o'zgargandan keyin, ikki marta kamayib, In ga
teng bo'lib qoldi.