Nazariy fizika kursi

j> 

J
grad ip dV. 
(A.85)
Bu yerda hajm bo'yicha integral sirt o'rab olgan soha bo'yicha olinadi. 
Vektor maydonda vektorning elemantar dS sirt bo'yicha oqimi
d$ = adS , 
(A M )
birorta S sirt bo'yicha oqim esa
Ф =
J
a dS =
J
andS =
J
an dS =
J
ax dydz +
J
ay dzdx +
J
az dydx 
(A.87)
tengliklar bilan aniqlanadi.
Vektordan berk sirt bo'yicha olingan integral uchun Ostrogradskiy-Gauss 
teotemasi o'rinlidir:
j) 
a dS =
J
div a dV. 
(A.88)
Bu teoremani isbotlash uchun integrallash hajmini cheksiz kichik boiaklarga 
bo'lamiz va (A.84) ni olishdagi yo'lni tutib div a uchun integral ta’rifni quyi­
dagi ko'rinishda yozamiz:
/
an dS
div a — lim - ———— . 
(A.89)
AV—>0 
ДУ
Bu ifodaga ko'ra a (r) vektordan olingan divergensiya r nuqtani o'rab turgan 
cheksiz kichik sirt bo'yicha a ning birlik hajmga to'g'ri keluvchi oqimiga teng 
ekanligi kelib chiqadi.
Agar div a = 0 bo'lsa, vektor solenoidal deyiladi va uning maydoni uyur- 
mali bo'ladi. Bu holda berk sirt bo'yicha vektorning oqimi nolga teng bo'ladi. 
Maydonning div а ф 0 bo'lgan nuqtalarida manba mavjud bo'ladi. div a > 0 
bo'lsa, kuch chiziqlar shu nuqtadan chiqadi, div a < 0 da esa kuch chiziqlar 
shu nuqtaga kiradi.
329

---

Berk kontur bo'yicha va shu kontur tortib turgan ixtiyoriy sirt bo'yicha 
integrallarni bog'lovchi quyidagi tenglik
Stoks teoremasining mazmunini aniqlaydi. Stoks teoremasi va nabla opera- 
torining integral ko'rinishidan foydalanib, rot a uchun integral ta’rifni quyi­
dagi ko'rinishda yozamiz:
Stoks teoremasigan ikkita muhim natijani kelib chiqadi:
1. 
Agar vektor potensial xarakterga (a = grad ip) ega bo'lsa, quyidagi 
tenglik o'rinli bo'ladi:
Bunga asosan vektor potensial xarakterga ega bo'lsa, bu vektorning maydoni 
uyurmasiz bo'ladi. Aksincha, vektorning maydoni uyurmasiz bo'lsa, u poten­
sial vektor bo'ladi.
2. Solenoidal vektordan olingan divergansiya nolga teng bo'ladi, ya’ni
Bundan vektorning maydoni solenoidal bo'lsa, uni hosil qilayotgan vektorning 
rotori nolga teng bo'ladi va aksincha, vektorning rotori nolga teng bo'lsa, u 
hosil qilayotgan maydon solenoidal bo'ladi.
Quyida maydonlar bilan bog'liq bo'lgan bir qator muhim formulalarni 
isbotsiz keltiramiz:
Vektor maydon yoki skalyat maydon birorta skalyar o'zgaruvchining funk­
siyasi bo'lsin, ya’ni a(u), /(u ). U holda:
(A.90)
rot a = lirn 
Д V —>0
j i [no] dS
(A.91)
AV
rot a = rot grad ip =  0.
(A.92)
div a = div rot с = 0.
(A.93)
(A .94)

---

Maydonlar ko:paytmasidan olingan hosilalar:
grad(^/) = / grad ф + ф grad / ,
(A.97)
div фа = agrad ф + Ф div a, 
(A.98)
div[a6] 
= b r o t a —arotft, 
(A.99)
rot[ab]