Proiectarea filtrelor cu raspuns finit la impuls (fir)

Curs 10

PROIECTAREA FILTRELOR CU RASPUNS FINIT LA IMPULS (FIR)

Am discutat in cursul precedent despre metodele de proiectare a filtrelor IIR prin metoda invariantei la impuls si prin metoda transformatei biliniare.

Pentru proiectarea filtrelor FIR se folosesc intotdeauna aproximari discrete ale raspunsului in frecventa. Cele mai multe din tehnicile pentru aproximarea raspunsului in magnitudine (|H(j)|) presupun o constrangere de faza liniara.

Nota: Prin faza liniara a unui sistem se presupune ca arg(H(j)) este o functie liniara de  (vezi

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_phase) (liniara pe tot domeniul [0,PI] sau pe portiuni).

Metoda ferestrei

Cea mai simpla metoda de proiectare a filtrelor FIR este metoda ferestrei. Aceasta metoda in general pleaca de la raspunsul in frecventa ideal al unui sistem discret:

unde h_d este raspunsul ideal la impuls al sistemului. In termeni de H_d(j) el se exprima cu transformata Fourier inversa a raspunsului in frecventa:

Cea mai simpla metoda de a obtine un filtru FIR cauzal din h_d este de a defini un nou sistem cu h[n] definit de relatia:

h[n] se mai poate scrie si ca produsul dintre raspunsul h_d[n] si un semnal fereastra w[n] de lungime M:

h[n] = h_d[n] w[n], unde:

Raspunsul la frecventa al sistemului FIR va fi convolutia intre H_d(j) si W(j) (una din teoremele transformatei Fourier: produsul de functii are ca transformata convolutia transformatelor).

In figura 7.19(b) (pag. 28/curs) raspunsul in frecventa al sistemului FIR este “distorsionat” prin convolutie de raspunsul in frecventa al functiei fereastra w[n] (figurat pe langa raspunsul ideal in figura 7.19.a)). Este de dorit ca raspunsul in frecventa W(j) sa aiba lobii de magnitudine secundari cu amplitudinea cat mai mica si in acelasi timp sa aiba latimea pe axa frecventei a lobului principal cat mai mica, astfel incat la produsul de convolutie efectul sa fie diminuat pe cat posibil. Acest lucru insa nu este posibil pentru nici o fereastra. Intotdeauna inaltimea mica a lobilor secundari in spectrul Fourier al functiei fereastra implica un suport (latime) a lobului mare pe axa frecventei, si invers.

Cateva exemple de ferestre sunt date in curs (pag.29).

Metoda de proiectare utilizand fereastra Kaiser

Compromisul intre latimea lobului principal al transformatei Fourier a semnalului fereastra si aria laterala (inaltimea lobilor secundari) poate fi atins daca se gaseste o functie fereastra pentru care raspunsul in frecventa este maxim concentrat in jurul lui  = 0. In urma cercetarilor facute in domeniu, Kaiser a propus (1966,1974) o fereastra aproape de optim care se formeaza utilizand functii de ordin 0 Bessel de speta 1 modificate, functii care sunt mult mai usor de calculat.

O fereastra Kaiser este definita ca:

,

Unde α = M/2 si I₀() reprezinta functia modificata de ordin zero Bessel de speta 1. β se numeste parametru de forma. Variind M si β se pot modifica lungimea ferestrei si forma astfel incat sa se obtina diferite ferestre.

Mentinand parametrul de forma constant si marind M cauzeaza lobul principal sa scada in latime, insa amplitudinea lobilor secundari nu este afectata.

Kaiser a gasit o pereche de formule care il ajuta pe proiectantul de filtre sa gaseasca M si β astfel incat sa satisfaca o anumita cerinta de selectare de frecvente.

Notand cu δ eroarea de varf (fig. 7.23/curs) se poate alege β in functie de δ:

Daca notam cu

Atunci parametrul de forma β este:

Aceste valori au fost determinate empiric de Kaiser.

Daca se doreste ca sa se atinga o anumita valoare a benzii de tranzitie ( = _S - _P ), atunci M trebuie sa satisfaca relatia :