Referat: “Teoreme de anulare în

Demonstraţie: Consider şirul exact 0 Iⁿ R R/Iⁿ 0 şi aplic Hom(-,M). Obţin şirul lung exact de coomologie: … Extⁱ(R,M) Extⁱ(Iⁿ,M) Extⁱ⁺¹(R/Iⁿ,M) Extⁱ⁺¹(R,M) … şi pentru i>0, am Extⁱ(R,M)=0 (deoarece R este R-modul liber!) deci avem izomorfismul: Extⁱ(Iⁿ,M)Extⁱ⁺¹(R/Iⁿ,M). Nu mai rămâne decât să aplic şi să utilizez propoziţia 1!

Propoziţia 3: Presupunem că R este un inel integru şi IR. Presupun I=(f₁,…,f_m). Notez K=Q(R) corpul de fracţii. Atunci avem: D_I(R) = (R:_K Iⁿ) = R_fi = R_P. În particular pentru I=(a), obţinem D_(a)(R) = R_a rezultat care se poate generaliza pentru orice modul M. Adică: D_(a)(M) = M_a/(a).

Teorema Mayer-Vietoris: Fie M un R-modul, J,KR şi I=J+K. Atunci avem următorul şir lung exact natural de R-module: 0 H⁰_I(M) H⁰_J(M) H⁰_J(M) H⁰_JK(M) H¹_I(M) … Hⁱ_I(M) Hⁱ_J(M) Hⁱ_J(M) Hⁱ_JK(M) …
Teoremă: (Comutarea coomologiei locale cu limita inductivă)

Fie IR şi (M_)_ un sistem inductiv de R-module. Atunci avem: Hⁱ_I(M_)= Hⁱ_I(M_).

Consecinţă: Hⁱ_I(M_)= Hⁱ_I(M_)
Teorema de independenţă: Fie IR. Dacă R R’ e un morfism de R-module şi M e un R’- modul, atunci: Hⁱ_I(M|_R) Hⁱ_IR’(M).
Teorema de schimbare plată a bazei: Dacă R R’ este un morfism plat,IR şi N un R-modul am: Hⁱ_I(N)R'Hⁱ_IR’(NR').
Consecinţă: Fie IR, SR un s.m.î. şi M un R-modul.Atunci: S^-1(Hⁱ_I(M)) Hⁱ_S^-1_I(S^-1M). În particular, dacă PR este un ideal prim cu IP, atunci: (Hⁱ_I(M))_P Hⁱ_Ip(M_P).

Tot în particular, avem: H_mⁿ(M) Hⁿ(), unde e completatul inelului local (R,m) în topologia m-adică. Şi e completatul modulului M. (Voi explica ulterior ce înseamnă asta).