Referat: “Teoreme de anulare în

3. Teoreme fundamentale de anulare.

Definiţia 1: Fie IR un ideal. Se numeşte rangul aritmetic al lui I, numărul ara(I)=min{n|b₁,…,b_nR cu } adică numărul minim de generatori pentru un ideal care are acelaşi radical ca şi I.
Observaţie: Evident, rangul aritmetic este o noţiune cu profunde semnificaţii geometrice!
Lemă: Dacă M este un R-modul şi aR H_(a)ⁱ(M)=0, ()i>1.
Demonstraţie: Fie i>1.Din propoziţia 2.2H_(a)ⁱ(M)Rⁱ¹D_(a)(M). Pe de altă parte,din propoziţia 2.3 D_(a)(-)(-)_a = functorul de localizare în a, care este un functor exact, deci R^i-1D_(a)(-)=0 pentru i>1, adică H_(a)ⁱ(-)=0 pentru i>1. Să mai observăm că această lemă reprezintă cazul t=1 pentru următoarea teoremă:
Teorema 1: Fie IR un ideal care poate fi generat cu t elemente. Atunci ()M un R-modul H_Iⁱ(M)=0, ()i>t. În particular, obţinem că H_Iⁱ(M)=0, ()i>ara(I).
Demonstraţie: Facem inducţie după numărul de generatori t. Pentru t=0 I=0 _I(-)=₀(-)=functorul identitate,pentru care, în mod evident H₀ⁱ(M)=0, ()i>0.

Cazul t=1 este tocmai lema precedentă. Presupun t>1. Atunci I=(a₁,…,a_t)=(a₁,…,a_t-1)+(a_t).Notez J=(a₁,…,a_t-1),K=(a_t). Evident I=J+K. Din ipoteza de inducţie aplicată lui J şi K avem că : H_Jⁱ(M)=0, ()i>t-1 şi H_Kⁱ(M)=0, ()i>t-1.

Scriem şirul Mayer-Vietoris pentru J,K şi obţinen că : (*) … H_JK^i-1(M) H_Iⁱ(M) H_Jⁱ(M)H_Kⁱ(M) H_JKⁱ(M) … Devreme ce H_JKⁱ(M)= H_JKⁱ(M), i şi cum idealul JK=(a₁,…,a_t-1)(a_t)=(a₁a_t,…,a_t-1a_t) are t-i generatori, avem că H_JK^i-1(M)=0, ()i>t-1.

Deci de fapt, (*) devine : 0 H_Iⁱ(M) 0, deci H_Iⁱ(M)=0, ceea ce încheie demonstraţia.
În cele ce urmează, vom folosi următorul rezultat clasic din teoria modulelor Cohen-Macaulay: (vezi [2])
Teorema Rees: Fie M un R-modul finit generat şi IR un ideal cu IMM. Atunci U.A.S.E.:

(1) depth(I,M)n

(2) Extⁱ(N,M)=0, ()i)N R-modul f.g.cu supp(N)V(I)

(3) Extⁱ(N,M)=0, ()i)N R-modul f.g.cu supp(N)=V(I)

(4) Extⁱ(R/I,M)=0, ()iTeorema 2: Fie M un R-modul finit generat şi IR un ideal cu IMM. Atunci U.A.S.E.:

(1)depth(I,M)n

(2)H_Iⁱ(M)=0, ()iDemonstraţie: „(1)(2)” Fie x₁,…,x_nI un şir M-regulat. Atunci, pentru hN avem că x₁^h,…,x_n^hI^h rămâne M-şir. Din teorema lui Rees Extⁱ(R/I^h,M)=0, ()iIⁱ(M)= Extⁱ(R/I^h,M)=0.

„(2)(1)” Facem inducţie după n. Pentru n=0 nu avem ce demonstra. Pentru n=1: Dacă H_I⁰(M)=_I(M)=0 (din lema 2.1) I conţine un element regulat pe M. Presupunem n>0 şi că H_Iⁱ(M)=0, ()in-1 şi deci, din teorema lui Rees avem Extⁱ(R/I,M)=0, ()ih,M)n-1 pentru hN şi deci Extⁱ(R/I^h,M)=0,i

Consider următorul şir exact pentru kh. 0 I^h/I^k R/I^k R/I^h 0.Cum supp(I^h/I^k)V(I) Extⁱ(I^h/I^k,M)=0,i Extⁱ(R/I^h,M) Extⁱ(R/I^k,M). Trecând la obţinem 0 Extⁱ(R/I^h,M) Extⁱ(R/I^k,M)= H_I^n-1(M) = 0, de unde deducem că Extⁱ(R/I^h,M)=0. În particular, pentru h=1, avem Extⁱ(R/I,M)=0, deci din teorema Rees, depth(I,M) n.
Observaţie: Pentru demonstraţia implicaţiei „(1)(2)” ipoteza de finit generare a lui M nu este necesară. În schimb, pentru ”(2)(1)” ea este vitală.
Corolar: Fie M un R-modul finit generat şi IR un ideal cu IMM. Atunci depth(I,M)=min{i| H_Iⁱ(M)0}.
Demonstraţie: Rezultă imediat din teorema anterioară. Totuşi, există o demonstraţie oarecum independentă pe care o prezint în cele ce urmează.

Se foloseşte inducţie după g=depth(I,M). Dacă g=0 I conţine doar divizori ai lui zero pe M şi cum M este finit generat, din lema 2.1 H_I⁰(M)=_I(M)0. Presupun g>0. Atunci ()xI un non divizor al lui zero pe M. Consider şirul exact 0 M M M/x^tM 0. În mod evident, depth(M/x^tM)=g-1. Trecând la coomologie, obţinem şirul lung exact: … H_I^i-1(M/x^tM) H_Iⁱ(M) H_Iⁱ(M) …. Din ipoteza de inducţie avem că H_I^i-1(M/x^tM)=0. Atunci cum H_Iⁱ(M) este I-torsionat, rezultă că pentru un t suficient de mare avem x^tH_Iⁱ(M)=0 şi deci obţinem că H_Iⁱ(M)=0. Pentru i=g, obţinem: 0 H_I^g-1(M/x^tM) H_I^g(M). Dar H_I^g-1(M/x^tM)0 din ipoteza de inducţie, deci şi H_I^g(M)0. Cu aceasta, propoziţia este demonstrată.
Definiţie: Fie M un R-modul finit generat. Se numeşte dimensiunea lui M, numărul dim(M)=dim(R/Ann(M)). În cazul când M nu este finit generat,dim(M)=dim(Supp(M)), unde Supp(M) îl privesc ca subvarietate în Spec(R).
Teorema de anulare Grothendick:

Fie M un R-modul (nu neapărat finit generat) şi IR. Atunci H_Iⁱ(M)=0, ()i>dim(M).

Demonstraţie: Mai întâi, eliminăm cazurile triviale. Dacă I=0 _I(-)=₀(-)=functorul identitate şi afirmaţia este evidentă. Dacă I=R, atunci _I(-)=₀(-)=0 şi iarăşi nu avem nici o problemă. La fel, dacă M=0. În cele ce urmează, mă reduc la cazul local:

Dacă PSpec(R) avem Supp(M_P)={qR_P| qSupp(M) cu qP}. Cum H_Iⁱ(M)=0 (H_Iⁱ(M))_P=0 ()PSpec(R) iar(H_Iⁱ(M))_PH_Ipⁱ(M_P) pot să mă reduc la cazul local ţinând cont că dim(M)=sup{dim(M_P)|PSpec(R)}. Presupun deci (R,m) local. În continuare, mă reduc la cazul M finit generat:

Cum M = M_ unde (M_)_ este familia submodulelor finit generate ale lui M, şi coomologia comută cu limitele directe, adică H_Iⁱ(M) = H_Iⁱ(M_) = H_Iⁱ(M_) şi, desigur, dim(M_)dim(M), pot presupune că M este finit generat. În cele ce urmează, aplic inducţie după n=dim(M).

Dacă n=0 Supp(M)={m} şi deci _m(M)=M, adică M este modul de m-torsiune. Dar atunci H_mⁱ(M)=0 pentru i>0 şi cu atât mai mult H_Iⁱ(M)=0 pentru i>0, deoarece Im. Presupunem că n>0. Pentru început, mă reduc la cazul M este fără I-torsiune. Asta o pot face imediat, plecând de la şirul exact: 0 _I(M) M M/_I(M) 0 de unde, prin trecere la coomologie, obţin că H_Iⁱ(M)H_Iⁱ(M/_I(M)) pentru i>1. Şi cum în plus dim(M/_I(M))dim(M), rezultă că pot presupune că M este fără I-torsiune.

Dar atunci, din lema 2.1,xI un element regulat pe M. Pentru ()t, avem (*) 0 M M M/x^tM 0. Notez M’=M/x^tM. Observ că dim(M’)I^i-1(M’)=0, pentru i>dim(M.).

Trecând la coomologie în (*) 0 = H_I^i-1(M’) H_Iⁱ(M) H_Iⁱ(M) 0 unde ( H_Iⁱ(M)H_Iⁱ(M) ) e indusă de multiplicarea cu x^t. Deci x^tH_Iⁱ(M) = H_Iⁱ(M) şi cum H_Iⁱ(M) este modul de I-torsiune, alegând un t>>0, obţinem H_Iⁱ(M)= x^tH_Iⁱ(M)=0, adică exact ceea ce doream să demonstrăm!
Corolar:

1. Dacă M este R-modul finit generat, IR. Atunci, dacă H_Iⁱ(M)0 depth(I,M) i dim(M) şi iara(I). În particular, obţinem:

2. Dacă (R,m) este inel local noetherian şi M este un R-modul finit generat, dacă H_mⁱ(M)0 depth(M)idim(M).

3. Dacă (R,m) este inel local şi M este un modul Cohen-Macaulay (adică M este finit-generat şi dim(M)=depth(M)) atunci există un H_mⁱ(M)0 i=dim(M). În particular, avem:

4. Dacă (R,m) este inel local C-M H_m^dim(R)(R)0. Vom vedea imediat că asta e valabil pentru orice R-modul M f.g.

Definiţie: Fie R un inel şi IR. Se numeşte topologie I-adică pe R, topologia dată de (Iⁿ)_n drept sistem fundamental de vecinătăţi pentru 0R. Este uşor de observat că această topologie este compatibilă cu operaţiile algebrice ale inelului R.

Un şir de elemente (x_n)_n se numeşte convergent la xR în topologia I-adică, dacă m>0, n_m astfel că pentru orice nn_m avem x_n-x Iⁿ.

Un şir de elemente (x_n)_n se numeşte şir fundamental, dacă m>0, n_m astfel că pentru orice n,pn_m avem x_n-x_pIⁿ.

Evident, pentru orice inel R şi IR, un şir convergent este fundamental. Un inel R se numeşte complet, dacă orice şir fundamental este convergent. În mod analog cu definiţia numerelor reale, putem defini completatul inelului R, în raport cu topologia I-adică, ca fiind mulţimea claselor de echivalenţă de şiruri fundamentale în care două şiruri sunt echivalente dacă diferă printr-un şir convergent la zero. Evident, avem o incluziune canonică a inelului în completatul său, un element x fiind dus în şirul constant x,x,x,…. De asemenea, dacă inelul iniţial este complet prin completare obţinem acelaşi lucru. În mod algebric, completatul se scrie ca R/Iⁿ⁺¹.

Cazul care ne interesează este cel când (R,m) este un inel local-noetherian pe care considerăm topologia m-adică. Din lema de intersecţie a lui Krull, rezultă imediat că topologia m-adică este separată Haussdorf. Notăm completatul lui R în topologia m-adică.

Ne plasăm în cazul particular de mai sus. Fie M un R-modul. Definim completatul lui M ca fiind =M/Iⁿ⁺¹ M. Vom utiliza următoarele rezultate: