Riyazi analiz

f’(x)=
Belə bir qənaətə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının ikinci həddi,yəni funksiyanın birinci tərtib törəməsinə bərabərdir.
İkinci addım olaraq funksiyanın 2-ci tərtib törəməsini əldə edək.

f’’(x)=2 (x-a)+4(3) +…+
f’’(x)=2

Buradan analoji olaraq belə nəticəyə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının üçüncü həddi, yəni funksiyanın ikinci tərtib törəməsinin yarısına bərabərdir.
Üçüncü addım kimi eyni əməliyyatı təkrar edərək, yəni funksiyadan üçüncü tərtib törəmə alaraq qüvvət sırasının dördüncü həddi( ) üçün aşağıdakı bərabərliyi əldə edə bilərik.

f’’’(x)=3(2) +4(3)(2) (x-a)+…
f’’’(a)=3(2) =

Yuxarıdakı əməliyyatlardan asanlıqla görmək olar ki, qüvvət sırasının hədləri üçün müvafiq dərəcədən törəmənin alınması və dərəcənin faktorialına bölünməsi arasında əlaqə vardır.Diqqət etsək görə bilərik ki, ikinci hədd( ) funksiyanın birinci tərtib törəməsinin a nöqtəsindəki qiymətinə(1!=1 olduğu üçün bölünmə olsa belə heçnə dəyişmir), üçüncü hədd( ) funksiyanın a nöqtəsində ikinci tərtib törəməsinin 2!-a , eləcə də üçüncü hədd isə 3-cü tərtib törəmənin a nöqtəsindəki qiymətinin 3!-a bölünməsindən alınan qiymətə bərabər olur.Bu əməliyyatlar analoji olaraq davam etdirilsə belə bu qanunauyğunluq gözlənir.Bunun əsasında qüvvət sıralarının bütün hədləri üçün aşağıdakı düsturu yazmaq mümkündür.


Bu düstur birinci hədd üçündə doğrudur(0-cı tərtib törəmə elə funksiyanın özünə, 0! isə 1-ə bərabərdir.)
Nəhayət :) “Funksiyanın qüvvət sıralarına ayrılışı(2)” bərabərliyində qüvvət sıraları üçün əldə etdiyimiz nəticələri yerinə qoysaq Teylor sırasının doğruluğunu görə bilərik.Yəni :
f(x)=f(a)+ (x-a)+ +…+ +…
Əlavə olaraq qeyd edilə bilər ki, a=0 halında Teylor sırası Maklauren sırasına çevrilir.
f(x)=f(0)+f’(0)x+ + +…+ +…
Teylor sırasının özəlliyi ondan ibarətdir ki, müvafiq funksiyaya uyğun olaraq nöqtə təyin edilərək(a) sonsuz cəmlər şəklində funksiyanın qiymətinə istənilən qədər yaxın nəticələr əldə etmək mümkün olur. Məhz bunun sayəsində kalkulayatorlarda sin47, e^x kimi mürəkkəb funksiyalar maşın dilinə çevrilə bilir və real dəyərə maksimum dərəcədə yaxın nəticələr əldə edilir.Aşağıda müxtəlif mürəkkəb funksiyalar üçün Teylor(Maklaren) sıralarından istifadə etməklə funksiya arqumenti və funksiyanın qiyməti arasında əlaqə yaradılır.
Beləliklə müasir hesablama maşınlarının belə funksiyaların qiymətini hesablamasına imkan yaradılır.Teylor sırasının digər bir tətbiqi populyar maşın öyrənmə alqoritmlərindən olan Support Vector Classifierdə RBF Kernel funksiya(Radial Basis Function) hesablamalarında çoxölçülü fəza əlaqəsinin nöqtəvi qiymətlərinin(dot product) təyin olunmasında istifadə olunmasıdır.
Qeyri-müəyyənliklərin açılışı