Telekomunikatsiya va texnologiyalar

Lokal spektral o'zgartirishlarning algoritmlari va tavsifi

Signallarni rakamli ishlov bеrishda spеktrial usullar yordamida qayta ishlash bir qancha qulayliklarni yaratadi. Spеktral usullar signalning xossalari va xususiyatlarini spеktrlarda shakllantirish,
Diskret kosinus o'zgartirish Uolsha o’zgartirish Bеyvlеt o’zgartirish
Barcha ortogonal o’zgartirishlar signallar va tasvirlarni filtrlashda, siqishda foydalaniladi.
Diskret kosinus o’zgartirish. Diskrеt kosinus o’zgartirish signal x(n) qiymatlari uchun n=0,1,2…N-1 quyidagi ko’rinishda.

L(0)  ^1N 1 x(n) ^Nn0

L(k )  ^2 x(n) cos ^(2^n^^1)k k=1,2…N- N 1 N n0 2N

Tеskari kosinus o’zgartirish

x(n)  ^1L(0)  ^2cos ^(2^n^^1)^k^ N 1 N N k1 2N

bunda n=0,1,2…N-1. To’gri o’zgartirish.

C  ^1N 1 f (i)W (k,i) , k  0,1,. N 1 k N  k i0

Teskari o’zgartirish

1 f (i)  CkWk (k,i) , i=0,1….N-1 k 0

Бу ерда f(i) – signal qiymatlari

^W_k ^{(k, i)} -O’zgartirish matritsasi

m1 (m1u ) p^k Wal(k, p)  (1) ^u^^1

usulda uch xil tartibda tartiblanadi. Uolsha

n  log2 N

Wal(k, p) matritsaning h ^(w) elеmеntlari o`uyidagi formula bilan aniqlanadi.

n 1 ri (u )vi h^(^w^)  (1) ^i^^0; u, v  0,1 N  1

Uolsha-Adamar

n1 ^uivi h^(^h^)  (1) ^i^^0; u, v  0,1 N 1

Vеyvlеt-Xara o’zgartirish

To’gri o’zgartirish

2^r 1 H (m,l)  2^^n^^m  f (t)H , m  0...n  1, l  1,2...2^m f i, j t 0

Tеskari o’zgartirish

n1 2m f (t)  H (0,0) X ^0 (t)   H (m,l)H ^^1 , i=0,1….N-1 f 0 f i, j m0 l1

Bu еrda f(i) –signal qiymatlari, f matritsasi elеmеntlarining qiymatlari
H (m, l) -spеktr qiymatlari X ^l (t) -O’zgartirish

Davriy signal (tok yoki kuchlanish) bu ma'lum bir T vaqt oralig'idan keyin signal shakli takrorlanadi va bu oraliq signal davri deb ataladi. Davriy bo'lgan signal uchun quyidagi shart bajariladi

𝑆⁽𝑡⁾ = 𝐴𝑠𝑖𝑛⁽Ω𝑡 + 𝜑⁾

bu erda A, Ω,φ - amplituda, burchak chastotasi va tebranish boshlang'ich fazasi.

Davriy signalning eng oddiy shakli bu amplituda, davr va boshlang'ich faza bilan ajralib turadigan garmonik signal yoki sinus to'lqini. Boshqa barcha signallar garmonik bo'lmagan yoki sinusoidal bo'lmagan bo'ladi.
Shuni ko'rsatish mumkinki va amaliyot shuni isbotlaydiki, agar kirish signali davriy bo'lsa, u holda chiziqli zanjirning xar bi r shaxobchasidagi boshqa barcha tok yoki kuchlanish (chiqish signallari) ham davriy bo'ladi.
Elektr zanjirida davriy garmonik bo'lmagan signallarni (kirish ta'sirilari va ularning reaktsiyalari) o'rganish uchun umumiy usul mavjud bo‘lib , bu signallarni Furye qatorlariga yoyishga asoslanadi.

∞
𝑆⁽𝑡⁾ = 𝐴₀ + ∑ 𝐴_𝐾cos(𝑘Ω𝑡 + 𝜑_𝑘)

𝑘=1

Berilgan davriy signalni tashkil etadigan turli xil chastotali garmonik tebranishlari to'plamiga signalning chastota spektri deyiladi.
Agar garmonik tebranishlar chastotasining to'plami diskret bo'lsa, u holda signalning spektri diskretdir, agar chastota to'plami uzluksiz bo'lsa, u holda signalning spektri uzluksizdir. Davriy signallarning spektri albatta diskretdir.
Davriy signallarning spektri uch xil ko’rinishda bo’ladi:

1. 
   Amplituda spektori
   
2. 
   Faza spektori
   
3. 
   Quvvat spektori
   

Amplituda spektri - bu signalning garmonik tashkil etuvchilarini amplitudalarini chastota bo‘yicha taqsimlanishi

A₀

₀  2
3 4
k, рад / сек

Davriy signalning amplituda spektri

Fazalar spektri - bu signalning garmonik tashkil etuvchilarini boshlang‘ich fazalarini chastota bo‘yicha taqsimlanishi

_k , рад(г рад)

0

₄  

Davriy signalning faza spektri

Quvvat spektri - bu signalning garmonik tashkil etuvchilarini quvvatlarini chastota bo‘yicha taqsimlanishi

_A 2



A
2
0

₀  2 3 4 k
Davriy signalning quvvat spektri

Davriy signallarning spektrlarini tahlil qilishda kompleks shakldagi Fyur qatorlari ham qo'llaniladi. Bunday holda, trigonometrik funktsiyalar eksponensial funktsiyalar bilan almashtiriladi. Furye kompleks qatorini quyidagicha ixcham ko‘rinishda yozish mumkin:

∞
𝑆⁽𝑡⁾ = ∑ 𝐶_𝑘
𝑘=−∞
𝑒^{𝑗𝑘Ω𝑡} .

Bu erda, 𝑒^{𝑗𝑘Ω𝑡} 𝐶Furye kompleks qatorning koeffisiyentlari.

_𝐶𝑘̇
== 1
𝑇
𝑇/2
∫ 𝑆⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝑘Ω𝑡}𝑑𝑡 .
−𝑇/2

Furye kompleks qatori yordamida aniqlangan kompleks amplituda va faza spektrlari quyidagi rasmlarda ko‘rsatilgan.

Davriy signalning kompleks amplituda spektri


Davriy signalning Furye kompleks qatori yordamida aniqlangan faza spektri
Shunday qilib davriy signalning amplituda spektri juft funksiya, faza spektri esa toq funksiya bo‘ladi.

Davriy bo‘lmagan signallarni spektri

Cheklangan intervalda (t₁, t₂) berilgan davriy bo'lmagan (impul'sli) S(t) signallarning spektrini aniqlash uchun Furye qatorlaridan to'g'ridan-to'g'ri foydalanib bo'lmaydi.
Yakka impul'sli signal davriy emas. Bunday signalning spektrini aniqlash uchun quyidagilarni bajarish lozim:

1. 
   impul'sli signal (t₁, t₂) oraliqni o‘z ichiga olgan xoxlagan T davrga ega davriy signalga aylantiriladi;
   
2. 
   ushbu yo‘l bilan xosil qilingan davriy signal S_davr(t) Fur'e qatoriga yoyiladi;
   
3. 
   keyin T cheksizlikga yo'naltirib, S_davr(t) davriy signaldan _Snodavr(t) nodavriy signalga o‘tiladi.
   

T cheksizlikga intilganda signalning asosiy chastotasi Ω=2π/T nolga intiladi. Spektrni tashkil etuvchilarni soni cheksizda ko‘payadi. Qo‘shni garmonik tebranishlarni chastotalari nΩ va (n+1)Ω shunday yaqin bo‘ladiki signalning spektr uzluksiz ko‘rinishda bulib qoladi. Bu holda no davriy signalning spektrni hisoblash uchun Furierning teskari va to'g'ri almashtirishlari juda qo‘l keladi.
Fur'ening to‘g‘ri almashtirishi yoki signalning spektr zichligi:
∞

𝑆^̇(𝑗𝜔⁾ = ∫ 𝑠⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡
−∞
Fur'ening teskari almashtirishi:
∞

𝑠(𝑡) = 1
2𝜋
∫ 𝑆^̇(𝑗𝜔⁾𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
−∞

Signalning spektr zichligini ko‘rsatkichli kurinishda yozish mumkin:

Bu erda,


S( j)  S()  e
j()

^S() − signalning amplituda spektri
^() − signalning faza spektri

Signalning spektr zichligini algebraic kurinishda yozish mumkin:



1
S( j)  S
() 
jS₂
()

Bu erda,



1
S ()  _

S(t)  costdt ,



2
S ()  _

S(t)  sin tdt

^S₁ ^() − signalning spektrining xaqiqiy qismi,
^S₂ ^() − signalning spektrining mavhum qismi.

Signalning amplituda va faza spektrlari quyidagi ifodalar orqali aniqlanadi:


S() 
) 

Spektral
S( j
()  arctg ^{S2 ()
S1 ()}
funksiya 𝑆^̇(𝜔⁾ ning o‘lchov birligi signalning o‘lchov birligining

vaqtga ko‘paytmasi kabidir: ya’ni agar 𝑠⁽𝑡⁾ signalning o‘lchov birligi – voltlarda bo‘lsa, u holda spektral funksiyaning o‘lchov birligi [𝑆^̇(𝜔⁾] = 𝑉 ∙ 𝑠 = 𝑉/𝐺𝑠.
Vaqt o'qining noli yagona to'rtburchakli impulsning (1-rasm) o'rtasiga to'g'ri keladi signalning spektrini ko‘rib chiqaylik.

Yagona to'rtburchakli impuls

Berilgan davriy bo‘lmagan signalning matematik ifodasi quyidagi ko‘rinishga ega:


S(t)  ^
A,  / 2  t   / 2

_0,
t   / 2;
^{t   / 2}

Signalning spektrini aniqlash uchun 2.26 formuladan foydalanamiz:

S () 
1
 / 2

  / 2

A  cos
 tdt  A ¹