Template paper varehd 12
§. (3.10)3.3 VARIANTE DE MODEL NUMERIC
Yüklə 234,02 Kb.
|
|
µ §. (3.10)3.3 VARIANTE DE MODEL NUMERIC Prin discretizarea modelului matematic descris anterior, se pot pune în evidenţă următoarele două variante ale modelului numeric: varianta I ¨C ecuaţia de echilibru inclusă în sistem µ § (3.11)varianta II ¨C ecuaţia de echilibru în afara sistemului µ § (3.12)µ §, (3.13)unde: µ § - coeficienţi de influenţă; µ §sunt dimensiunile celulei (j); µ § este o mulţime de indici care pune în evidenţă domeniile elementare componente ale ariei reale de contact. S-a obţinut un sistem pătrat de ecuaţii liniare, ale cărui necunoscute sunt valorile presiunilor în centrele celulelor de discretizare. 3.4 ALGORITM ASOCIAT MODELULUI NUMERIC Determinarea elementelor contactului elastic normal, pe baza variantei clasice a metodei coeficienţilor de influenţă, presupune parcurgerea următoarelor etape: precizarea datelor iniţiale: tipul suprafeţelor în contact; numărul celulelor de discretizare pe direcţii axiale; dimensiunile ariei estimate de contact; varianta de discretizare; valorile factorilor de multiplicare; modul de calcul al coeficienţilor de influenţă; varianta de model numeric; metoda de rezolvare a sistemului; elementele geometrice ale suprafeţelor în contact; constantele elastice ale materialelor; sarcina normală aplicată; elementele contactului elastic, determinări analitice: în scopul validării modelului numeric, sunt stocate, într-un fişier pe disc, rezultate analitice din literatura de specialitate; discretizarea domeniului estimat de contact: se generează automat, după caz, o reţea de noduri uniformă, neuniformă sau impusă; geometria locală de contact: se calculează expresiile suprafeţelor în punctele care reprezintă centrele de greutate ale celulelor de discretizare; după caz, se generează, mai întâi, suprafeţele cilindrice, conice sau de rotaţie corespunzătoare; se are în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact; calculul coeficienţilor de influenţă: pentru o discretizare dată, coeficienţii de influenţă (determinaţi în două variante) se calculează o singură dată, conform formulelor date de Love (1929), reluate în [Cr02]; matricea iniţială a sistemului în presiuni: în funcţie de varianta de modelare numerică dorită (I, II), se generează matricea extinsă a sistemului în presiuni, corespunzătoare tipului de discretizare ales; testul de redimensionare a domeniului estimat de contact: se realizează un test de depistare a celulelor care ar putea fi excluse din aria estimată de contact, iar matricea sistemului se redimensionează automat, înainte de a se lansa rezolvarea acestuia; condiţionarea şi scalarea sistemului în presiuni: numărul de condiţionare a matricei sistemului, µ §, furnizează informaţii asupra acurateţei soluţiei; dacă acest indicator este relativ mic, rezultă o bună condiţionare a sistemului, adică o sensibilitate redusă a soluţiei în raport cu perturbaţiile inerente ale datelor de intrare, [Du98]; prin scalarea sistemului, se poate obţine o îmbunătăţire a preciziei soluţiei; rezolvarea sistemului liniar în presiuni: s-au utilizat metode directe (Gauss, Onicescu, Choleski), metode iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxare), respectiv, metode de tip gradient; pe parcursul aplicării algoritmului, sistemul de ecuaţii se redimensionează automat, funcţie de modificarea ariei de contact; această secvenţă se repetă până când sistemul nu mai oferă nici o presiune strict negativă; pentru cea de-a doua variantă a modelului numeric, se verifică îndeplinirea ecuaţiei de echilibru, comparând suma forţelor elementare cu sarcina aplicată, şi, după caz, se majorează apropierea normală cu un pas adecvat, iar algoritmul se reia până când ecuaţia de echilibru este aproximativ verificată; elementele contactului elastic, determinări numerice: rezultatele aplicaţiei sunt salvate în fişiere pe disc şi vizualizate, la cerere, într-un număr de liste şi grafice. 3.5 FUNCŢIILE PRINCIPALE ALE PROCEDURILOR AUTOMATE Pe baza algoritmului general descris anterior au fost realizate subprograme funcţii în mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric diverse probleme de contact elastic. Pentru prezentarea rezultatelor modelării numerice şi vizualizarea graficelor au fost realizate mai multe proceduri distincte, privind: calculul coeficienţilor de influenţă, construirea sistemului liniar în presiuni, scalarea sistemului, rezolvarea sistemului în presiuni prin metode directe, iterative şi de tip gradient, analiza convergenţei metodelor iterative. 3.6 SCHEMĂ GENERALĂ ASOCIATĂ ALGORITMULUI Se prezintă schema logică asociată algoritmului de rezolvare a problemelor de contact elastic, pe baza metodei coeficienţilor de influenţă ¨C varianta clasică. 3.7 CONCLUZII Pe baza metodei clasice a coeficienţilor de influenţă, se propune un studiu extins privind modelarea numerică a contactului elastic. Au fost realizate mai multe proceduri automate în mediul de programare Matlab, ale căror funcţiuni sunt prezentate, succint, în continuare. procedura date: în dialog cu utilizatorul aplicaţiei, se solicită elemente de identificare a problemei de contact; procedura discret: realizează discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniformă sau impusă); procedura analit: în scopul validării modelului numeric, sunt stocate, într-un fişier pe disc, rezultate analitice din literatura de specialitate; procedura geoin: descrie geometria iniţială a suprafeţelor în contact; procedura cinf: realizează calculul coeficienţilor de influenţă, în variantele: analitic (Love) şi combinat (analitic pe diagonala principală şi aproximativ, în rest); procedura initial: stabileşte matricea iniţială a sistemului în presiuni, în raport de varianta de modelare numerică dorită; procedura scalare: analizează condiţionarea sistemului în presiuni şi, după caz, scalarea sistemului; procedura rezsist: rezolvă sistemul liniar în presiuni pe baza metodelor prezentate anterior; procedura reznum: determină numeric elementele contactului elastic; rezultatele aplicaţiei sunt salvate în fişiere pe disc şi vizualizate la cerere. CAPITOLUL 4VALIDAREA MODELĂRII NUMERICE PROPUSE PRIN REZULTATE ANALITICE ŞI EXPERIMENTALE EXISTENTE 4.1 VALIDARE PE CONTACTE HERTZIENE
4.1.1 Contactul dintre doi paraboloizi eliptici Se consideră contactul dintre doi paraboloizi eliptici, încărcat normal cu sarcina µ § N. Se pun în evidenţă următoarele aspecte: concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian; efectul dimensionării ariei estimate de contact asupra rezultatelor modelării; scalarea matricei sistemului în presiuni. 4.1.2 Contactul sferei de rază µ § cu sfera de rază µ § Se consideră contactul dintre două sfere de raze diferite, încărcat normal cu sarcina µ § N. Sunt cercetate: concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian; efectul modului de calcul al coeficienţilor de influenţă (analitic sau variantă combinată) asupra rezultatelor modelării. 4.1.3 Contactul elipsoid - semispaţiu elastic Se consideră contactul elipsoid - semispaţiu elastic, încărcat normal cu sarcina µ § N. Se analizează: concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este inclusă în sistem) şi modelul analitic hertzian; concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este în afara sistemului) şi modelul analitic hertzian; analiza comparativă a rezultatelor. 4.1.4 Contactul dintre doi cilindri de raze µ § şi µ §µ § având axele perpendiculare Se consideră contactul dintre doi cilindri de raze µ § şi µ §, având axele perpendiculare, încărcat normal cu sarcina 2000 N. În cadrul acestei probleme, se pun în evidenţă: concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda iterativă Gauss-Seidel şi modelul analitic hertzian; analiza comparativă a modelărilor realizate cu metoda iterativă Gauss-Seidel, respectiv metoda directă Gauss. În toate problemele de contact prezentate mai sus s-a obţinut o foarte bună concordanţă între rezultatele modelării numerice şi cele date de teoria hertziană. 4.1.5 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe toroidale În cadrul acestei probleme de contact elastic, se analizează: concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda gradientului conjugat şi modelul analitic hertzian. Torul este suprafaţa generată prin rotirea unui cerc în jurul unei axe conţinută în planul cercului şi exterioară lui. Sunt determinate reprezentările analitice ale suprafeţelor nominale în contact şi curburile principale, în punctul iniţial de contact. Modelarea numerică a problemei se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este în afara sistemului, reţeaua de discretizare este uniformă cu 47x23 noduri, se utilizează o dimensionare optimă a ariei estimate de contact, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic şi sistemul în presiuni se rezolvă cu metoda gradientului conjugat. Elementele contactului elastic (analitic, numeric şi eroarea relativă) sunt prezentate în Tab. 4.15. Tabel 4.15 Elementele contactului elastic
Presiunea hertziană de contact, [GPa]Apropierea normală, [m]Semiaxa mare a elipsei, [m]Semiaxa mică a elipsei, [m]analitic numeric3,91312 3,914065,25891 e-06 5,25775 e-062,19377 e-04 2,19377 e-045,56059 e-05 5,56059 e-05er. relativă 0,02414 % 0,02209 %7,41 e-14 %2,44 e-14 %Din analiza datelor conţinute în tabel, se constată o foarte bună concordanţă între cele două modele. În cazul presiunii maxime de contact şi a apropierii normale, se înregistrează erori relative cu valori mai mici de 0.25 ‰. În continuare, sunt prezentate rezultatele grafice ale validării. Fig. 4.26 (4.27) Geometria iniţială de contact şi geometria contactului echivalent Fig. 4.28 (4.29) Distribuţia spaţială de presiuni: model numeric şi analitic (Hertz)
Fig. 4.30 (4.31) Distribuţia presiunii în lungul axei mari, respectiv axei mici a elipsei de contact 4.2 VALIDARE PE CONTACTE NEHERTZIENE
4.2.1 Contact pe vârf conic Contactul con circular - semispaţiu elastic este un contact neconform punctual cu discontinuităţi de suprafaţă de ordinul unu. Abordări analitice ale problemei lui Boussinesq, privind penetrarea semispaţiului elastic de către un con circular rigid, au realizat Love, citat de Johnson, [Jo85], Sneddon, [Sn48], Shtaerman, [Sh49]. Modelarea numerică propusă se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este inclusă în sistem, reţeaua de discretizare este uniformă cu 35x35 noduri, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic, sistemul în presiuni se rezolvă cu metoda Gauss, unghiul exterior al conului este µ §grade, iar raza exterioară a ariei circulare de contact este µ §m. Rezultatele numerice, analitice şi eroarea relativă sunt prezentate în Tab. 4.17, iar graficele modelării, în Fig. 4.32 - Fig 4.33. Tabel 4.17 Rezultatele modelării contactului pe vârf conic Tip rezultatePresiunea maximă, [GPa]Presiunea medie, [GPa]Apropierea normală, [m]analitic numericµ § 3,730770,69231 0,692319,42478 e-05 9,42443 e-05er. relativăˇKˇKˇK 1,2 e-13 % 0,00373 % a) b) Figura 4.32 a) Geometria iniţială de contact b) Distribuţii diametrale ale presiunii a) b) Figura 4.33 Distribuţia spaţială de presiuni: a) model numeric b) model analitic În vecinătatea vârfului conului apar concentrări puternice în distribuţia presiunii de contact. Pentru atenuarea acestor efecte, se utilizează, de regulă, racordări locale ale suprafeţelor în contact prin suprafeţe convenabil alese. Pentru o problemă generală de contact normal axisimetric, Shtaerman, [Sh49], a stabilit expresii analitice ale elementelor contactului elastic, reluate în [Ci99]. În cazul contactului pe vârf conic, Ciavarella, [Ci99], realizează racordarea generatoarelor conului, în secţiune radială, prin arce de cerc, (Fig. 4.34), şi analizează efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni. Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului µ § În Tab. 4.22 se dau elementele contactului elastic, analitic şi numeric, pentru o valoare intermediară ale raportului µ §, iar Fig. 4.39 pune în evidenţă rezultatele grafice ale modelării realizată în teză. Tabel 4.22 Rezultatele modelării contactului pentru µ § Tip rezultatePresiunea maximă, [GPa]Presiunea medie, [GPa]Apropierea normală, [m]Forţa normală, [KN]analitic numeric1,38284 1,383590,68261 0,682487,89088 e-05 7,89058 e-05214,449 214,449er. relativă 0,05401 % 0,02000 % 0,00386 %0Erorile relative înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice, ceea ce implică validarea modelului numeric şi a codului calculator aferent. Efectul creşterii razei de curbură a profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat în Fig. 4.45. Figura 4.34 Poanson conic cu vârf racordat, [Ci99] a) b) c) d) Figura 4.39 Rezultatele modelării pentru µ § a) geometria iniţială de contact b) distribuţia diametrală a presiunii c) distribuţia spaţială de presiuni, numeric d) distribuţia spaţială de presiuni, analitic Figura 4.45 Distribuţii radiale ale presiunii de contact (numeric şi analitic), în funcţie de raza profilului de racordare În Fig.4.45 sunt trasate şi graficele corespunzătoare cazurilor limită µ § şi µ §, care reprezintă contactul pe vârf conic ascuţit, respectiv, contactul pe vârf conic cu racordare completă (contact hertzian). Este evident că, simultan cu creşterea razei de racordare, se înregistrează o diminuare semnificativă a presiunii maxime atinsă în centrul ariei de contact. Contact conform circular Contactul dintre un cilindru circular drept, cu bază plană şi semispaţiul elastic este un contact conform cu discontinuităţi de suprafaţă de ordinul zero la limita contactului. Prima soluţie a problemei a fost furnizată, în 1885 de Boussinesq, [Bo69]. Pentru un poanson rigid de secţiune circulară şi suprafaţă frontală plană, având raza µ §, se realizează modelarea numerică, iar rezultatele obţinute sunt comparate cu cele oferite de modelul analitic. Tabel 4.29 Rezultatele modelării Tip rezultatePresiunea maximă, [GPa] Presiunea medie, [GPa]Presiunea în centrul contactului, [GPa]Apropierea normală, [m]analitic numericinf 5,850071,27324 1,283020,64868 0,636628,66667 e-06 8,74863 e-06er. relativă------ 0,76807 % 1,89397 % 0,94573 % Erorile relative înregistrate conduc la o bună concordanţă între modele. La limita ariei de contact, unde apar discontinuităţi de ordonată ale poansonului, modelul analitic înregistrează presiuni infinite. Rezultatele modelării sunt sugerate în reprezentarea adimensională a distribuţiei axiale de presiuni: Figura 4.48 Distribuţia diametrală a presiunii de contact Cea mai simplă soluţie, pentru diminuarea concentrării de presiuni maxime la limita ariei de contact, constă în racordarea suprafeţei frontale plane a poansonului echivalent cu suprafaţa laterală prin suprafeţe care au profilul transversal format din arce de cerc, după cum se reprezintă în Fig. 4.49. Expresii analitice ale elementelor contactului conform circular racordat a oferit Shtaerman, [Sh49]. Efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni a fost studiat de Shtaerman, [Sh49] şi Ciavarella, [Ci99]. Figura 4.49 Geometria de contact: poanson echivalent ¨C semispaţiu elastic, [Ci99] Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului µ § Sunt puse în evidenţă presiunea maximă, medie şi în centrul secţiunii, precum şi apropierea normală dintre corpurile în contact, (analitic şi numeric) pentru valori intermediare ale raportului µ §. Pentru rezumatul de faţă se selectează cazul particular µ §: Tabel 4.35 Rezultatele modelării contactului pentru µ § Tip rezultatePresiunea maximă, [GPa]Presiunea medie,
[GPa]Presiunea în centrul contactului, [GPa]Apropierea normală, [m]analitic numeric1,62606 1,639231,27324 1,280480,98208 0,981411,06191 e-05 1,06179 e-05er. relativă 0,80943 % 0,56844 % 0,06816 % 0,01172 %Erorile relative, în procente, înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice. Efectul razei profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat, în unităţi adimensionale, în Fig. 4.55.
a) b) c)
Figura 4.55 Rezultatele modelării pentru µ § a) distribuţia de presiuni, numeric b) geometria de contact c) distribuţia de presiuni, analitic Valoarea presiunii din centrul contactului variază între 0.5 şi 1.5 din presiunea medie. Este evidentă tendinţa crescătoare a presiunii la frontiera ariei de contact, odată cu reducerea razei de racordare. Cazul limită µ § corespunde unei racordări complete, iar contactul echivalent are loc între un paraboloid şi semispaţiul elastic (contact hertzian).
4.2.3 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru Contactul echivalent are loc între un poanson cu suprafaţa descrisă de o funcţie omogenă de gradul patru şi semispaţiul elastic: µ §; µ §. (4.42)În cadrul unei extensii a teoriei lui Hertz, Diaconescu, [Di03], determină analitic elementele contactului elastic. Constantele elastice ale materialelor care compun corpurile în contact sunt: µ § Pa, iar sarcina aplicată este µ §. În Tab. 4.41 se dau elementele contactului elastic (numeric şi analitic) şi concordanţa dintre cele două modele, pentru µ §. Tabel 4.41 Rezultatele modelării numerice model analiticmodel numericeroare relativăpresiunea maximă, [MPa]1,771421,774110,1518 %presiunea în centrul contactului, [MPa]1,266031,263680,1859 %semiaxa mare a elipsei (a), [m]2,02078 e-022,02078 e-020 %semiaxa mică a elipsei (b), [m]1,04795 e-021,04795 e-02 0 %apropierea normală, [m]3,62432 e-073,62323 e-070,0300 % Din analiza erorilor relative, rezultă o bună concordanţă între elementele contactului, determinate analitic şi numeric. Aşadar, se validează atât modelarea problemei de contact, cât şi codul calculator aferent. Reprezentările grafice următoare pun în evidenţă distribuţiile spaţiale, respectiv axiale, ale presiunii (numeric şi analitic). Figura 4.62 (4.63) Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv analitic a) b)
Figura 4.64 Distribuţii axiale ale presiunii de contact, numeric şi analitic: a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact 4.3 VALIDARE EXPERIMENTALĂ
Tabel 4.42 Variaţia raportului µ § în funcţie de sarcina aplicată Raportul b/a Sarcina Q [N] 040,1529289411541560experimental11,000171,0006131,0011881,00171,0021numeric11,0001751,0007021,0014031,0017541,001930Se constată o bună concordanţă între cele două seturi de date. Rezultatele grafice ale modelării numerice, pentru sarcina µ §, sunt prezentate în Fig. 4.65 ¨C 4.66, iar variaţia raportului de majorare a ariei de contact este dată în Fig. 4.68. Figura 4.65 (4.66) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric Figura 4.68 Variaţia raportului de majorare a ariei de contact, numeric şi experimental
NORMAL PRIN EXTINDEREA ARIEI DE CONTACT 5.1 DESCRIEREA METODEI Pentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă (MCI_2). Deosebirea principală faţă de metoda clasică constă în aceea că aria reală de contact se construieşte din puncte aflate cu siguranţă în contact, iar extinderea ei se face treptat prin adăugarea de noi puncte care îndeplinesc anumite condiţii. În continuare sunt prezentate ideile de bază ale metodei: datele iniţiale ale problemei de contact elastic sunt stocate pe suport magnetic sau preluate interactiv, în dialog cu utilizatorul aplicaţiei; pentru validare, se determină elementele contactului elastic pe baza abordărilor analitice existente în literatura de specialitate; se acceptă ca arie estimată de contact un domeniu dreptunghiular, discretizat în arii elementare (celule), pe fiecare dintre ele presiunea fiind considerată uniform distribuită; solicitarea de contact este o încărcare pur normală; se pun în evidenţă reprezentările explicite ale geometriei iniţiale de contact şi matricea coeficienţilor de influenţă; se asociază fiecărei celule următoarele elemente de identificare: număr, dimensiuni (lungime, lăţime), coordonatele vârfurilor şi ale centrului faţă de sistemul de coordonate ataşat; în centrele celulelor, de coordonate µ §, se calculează distanţele dintre cele două corpuri în stare nedeformată, µ §; elementele de arie pentru care µ § vor constitui aria iniţială de contact; separaţiile µ § sunt sortate în ordine strict crescătoare, cu menţionarea celulelor corespunzătoare; mulţimea valorilor µ §, obţinută anterior, se descompune în clase de valori egale; ecuaţia discretizată a contactului conduce la un sistem nedeterminat de ecuaţii liniare în presiuni; compatibilizarea sistemului anterior se face pe baza observaţiei că valoarea apropierii normale µ § se poate deduce din pasul anterior al algoritmului; se adaugă noi puncte la aria reală de contact (cu valoarea separaţiei imediat următoare), până când suma forţelor elementare este caracterizată de o valoare care se află în imediata vecinătate superioară a sarcinii aplicate; dimensiunea sistemului creşte, pe măsură ce noi celule sunt acceptate ca aparţinând ariei reale de contact; ecuaţia de echilibru discretizată, necuprinsă în modelul numeric, este utilizată ca o condiţie de oprire a algoritmului; algoritmul se opreşte atunci când suma forţelor elementare S depăşeşte, pentru prima dată, valoarea sarcinii aplicate; diferenţa µ §, raportată la aria reală de contact, reprezintă o cantitate elementară de presiune care va corecta distribuţia de presiuni şi deplasarea rigidă obţinute în finalul modelării; modelarea numerică reţine trei seturi de rezultate: aproximarea superioară, aproximarea inferioară şi soluţia corectată.. În &5.2 sunt reprezentate grafic etapele de bază ale extinderii ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă.
Yüklə 234,02 Kb. Dostları ilə paylaş:
|