Teylor sırası, bəzi elementar funksiyaların Teylor (Makleron) sırasına ayrılması

Teylor sırası, bəzi elementar funksiyaların Teylor (Makleron) sırasına ayrılması.
Teylor sırası — riyaziyyatda bir funksiyanın, o funksiyanın həddlərinin bir nöqtədəki törəmələrinin qiymətlərindən hesablanan sonsuz toplamı şəklində yazılması formasında açılımdır. Adını ingilis riyaziyyatçı Bruk Teylordan almışdır. Əgər sıra sıfır mərkəzlidirsə a=0, Teylor sırası daha sadə bir hal alar və bu xüsusi hala şotland riyaziyyatçı Kolin Maklarenə istinad olaraq Maklaren sırası deyilir. Bir silsilənin hədlərindən sonlu bir say qədərini istifadə etmək bu silsiləni bir funksiyaya yığmaq üçün ümumi bir üsuldur.

Bəzi hallarda verilən riyazi funksiyanın parçalanaraq müxtəlif funksiyaların cəmi şəklində göstərilməsi bir çox əməliyyatların və hesablamaların aparılmasında daha faydalı olur. Bu parçalanmanı həyata keçirməkdə ən çox tətbiq olunan riyazi düstur Teylor sırası adlanan sonsuz cəm funksiyasıdır.Bu cəm funksiyası ilk dəfə 1715-ci ildə Bruk Teylor tərəfindən irəli sürülmüşdür və onun şərəfinə adlandırılmışdır.Bu sonsuz cəm funksiyası həmçinin funksiya arqumenti ilə funksiya qiyməti arasında birbaşa əlaqənin olmadığı hallarda da funksiya qiymətinin təyin olunmasına imkan yaradır.

B
u yazımda Teylor sırasının mahiyyəti və düsturun riyazi izahının verilməsinə çalışacam.Teylor sırası aşağıdakı verilən sonsuz hissəvi cəm funksiyasıdır.Bu bərabərlik əksər kəsilməz funksiyalar üçün doğrudur.
İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu göstərək. Fərz edək ki, verilən funksiya aşağıdakı qüvvət sıralarının cəmi (polinomlar cəmi) şəklində göstərilə bilər.
A
ydındır ki, verilən bərabərlik x=a halında c0-a bərabər olur və buna görə f(a)=c0 bərabərliyini yaza bilərik.Bu o deməkdir ki, qüvvət sırasının birinci(c0) həddi x=a nöqtəsində f(a)-nın özünə bərabərdir.
Birinci addım olaraq verilmiş funksiyanın birinci tərtib törəməsini əldə edək
B
elə bir qənaətə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının ikinci həddi,yəni c1 funksiyanın birinci tərtib törəməsinə bərabərdir.
İkinci addım olaraq funksiyanın 2-ci tərtib törəməsini əldə edək.
B
uradan analoji olaraq belə nəticəyə gəlmək mümkündür ki, x=a halı üçün qüvvət sırasının üçüncü həddi, yəni c2 funksiyanın ikinci tərtib törəməsinin yarısına bərabərdir.
Üçüncü addım kimi eyni əməliyyatı təkrar edərək, yəni funksiyadan üçüncü tərtib törəmə alaraq qüvvət sırasının dördüncü həddi(c3) üçün aşağıdakı bərabərliyi əldə edə bilərik.

Yuxarıdakı əməliyyatlardan asanlıqla görmək olar ki, qüvvət sırasının hədləri üçün müvafiq dərəcədən törəmənin alınması və dərəcənin faktorialına bölünməsi arasında əlaqə vardır.Diqqət etsək görə bilərik ki, ikinci hədd(c1) funksiyanın birinci tərtib törəməsinin a nöqtəsindəki qiymətinə(1!=1 olduğu üçün bölünmə olsa belə heçnə dəyişmir), üçüncü hədd(c2) funksiyanın a nöqtəsində ikinci tərtib törəməsinin 2!-a , eləcə də üçüncü hədd isə 3-cü tərtib törəmənin a nöqtəsindəki qiymətinin 3!-a bölünməsindən alınan qiymətə bərabər olur.Bu əməliyyatlar analoji olaraq davam etdirilsə belə bu qanunauyğunluq gözlənir.Bunun əsasında qüvvət sıralarının bütün hədləri üçün aşağıdakı düsturu yazmaq mümkündür.

B
u düstur birinci hədd c0 üçündə doğrudur(0-cı tərtib törəmə elə funksiyanın özünə, 0! İsə 1-ə bərabərdir.)
Nəhayət “Funksiyanın qüvvət sıralarına ayrılışı(2)” bərabərliyində qüvvət sıraları üçün əldə etdiyimiz nəticələri yerinə qoysaq Teylor sırasının doğruluğunu görə bilərik.Yəni :
Ə

lavə olaraq qeyd edilə bilər ki, a=0 halında Teylor sırası Maklauren sırasına çevrilir.
Teylor sırasının özəlliyi ondan ibarətdir ki, müvafiq funksiyaya uyğun olaraq nöqtə təyin edilərək(a) sonsuz cəmlər şəklində funksiyanın qiymətinə istənilən qədər yaxın nəticələr əldə etmək mümkün olur. Məhz bunun sayəsində kalkulayatorlarda sin47, e^x kimi mürəkkəb funksiyalar maşın dilinə çevrilə bilir və real dəyərə maksimum dərəcədə yaxın nəticələr əldə edilir.Aşağıda müxtəlif mürəkkəb funksiyalar üçün Teylor(Maklaren) sıralarından istifadə etməklə funksiya arqumenti və funksiyanın qiyməti arasında əlaqə yaradılır.




Beləliklə müasir hesablama maşınlarının belə funksiyaların qiymətini hesablamasına imkan yaradılır.Teylor sırasının digər bir tətbiqi populyar maşın öyrənmə alqoritmlərindən olan Support Vector Classifierdə RBF Kernel funksiya(Radial Basis Function) hesablamalarında çoxölçülü fəza əlaqəsinin nöqtəvi qiymətlərinin(dot product) təyin olunmasında istifadə olunmasıdır.