The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music

ALTIN ORAN VE MÜZİK

Doç.Dr. Ece KARŞAL

Yrd.Doç. Dr. David WALTERS*

Altın oran, doğadaki çeşitli varlıkların yapısında bulunan, mükemmel uyumu temsil eden orandır. Pek çok yerde karşımıza çıkabilir; Çiçek yaprakları, deniz kabukları, çam ağacı kozalakları, insan vücudu. Altın oran,doğadaki güzelliği temsil eder. Yüzyıllardır sanatın pek çok dalında da kullanılmış ve üzerinde çeşitli araştırmalar yapılmıştır. Doğada, resimde, mimaride, müzikte kullanılan altın oran aslında Fibonacci adlı bir matematikçinin ortaya attığı bir sayı dizisinden doğmuştur. Papatyaların Fibonacci sayıları kadar taç yaprakları vardır. Dolayısı ile “Seviyor , sevmiyor” falı kulağa pek romantik gelmese de, maalesef Fiboanacci sayılarının dağılımının istatisliğine bağlıdır. Ayçiçeğinin çiçek kısmındaki tohumlar her zaman bir Fiboanacci sayısına karşılık gelir. Bu tüm çiçekler için de geçerlidir, ayçiçeğinin özelliği tohumlarının gözle görülür biçimde sayılabilmesindendir. Birçok çiçeğin, tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları, ananas ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel şekillerin birçoğu Fiboanacci sarmalları içerir.¹ Mısır’daki piramitler kendi içlerinde bu oranı kullanmakta ayrıca konuşlandıkları yerler itibarı ile bu orana uygun sipiral içerisinde bulunmaktadırlar. Eski Yunan sanatı ve mimarisinde çokça kullanılmıştır. Rönesans sanatçıları Leonardo Da Vinci, Raphael, Rubens, Boticelli bu oranı kullananların başında gelirler.

“Sayı” kavramı çağlar boyunca insanlığın ilgisini çekmiştir. Sayı kavramı matematiğin ve aynı zamanda yaşamın temel kaynağıdır. “Sayı” esas olarak somut bir kavramdır ama yaşamın , doğanın heryerinde yardır. İnsanlar ilkçağlardan itibaren sayıları ifade etmek için çeşitli yollar denemişleridir. Ancak milattan 300 yıl kadar önce Hindistan sayıları rakamlamaya başlamıştır. Bugün kullanılan Hint-Arap sayılar sistemindeki simgeler (0,1,2,3,...) bazı kitapların basılması ile birlikte Avrupa’ya da yayılmıştır. Bu kitaplar arasında da 13. Yüzyılın başlarında yayınlanan “Il Liber Abbaci” hesaplama yöntemleri ile ilgili bir kitap vardır. Bu kitap ortaçağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (Leonardo da Pisa) tarafından yazılmıştır.
Leonardo Fibonacci 1170 yılında İtalya’nın Pisa şehrinde doğmuştur. Annesini küçük yaşta kaybeden Fibonacci’nin babası Cezayir- İtalya arasındaki bir ticaret postasını idare etmektedir ve bu nedenle sık sık seyahat etmektedirler. Leonardo’nun Hint-Arap sayı sistemini öğrenmesi de bu sayede olmuştur. Bu seyahatlerde Fibonacci, önemli Arap matematikçiler ile çalışma fırsatına sahip olmuştur. Fiboacci , döneminde Avrupa’da Romen rakamları kullanılmakta ve sıfır sayısı bilinmemekte idi. Leonardo Fibonacci Hint-Arap sayılar sistemini ve sıfırı Avrupa’ya getirmiştir. Bu seyahatler ve çalışmalar sonrasında 1202 yılında, 32 yaşında iken ünlü kitabını yazmıştır: Il Liber Abbaci. Bu kitap oldukça önemli bir kitaptır, o dönemin matematiğinin büyük kısmının kayıtlarını içermektedir.
Bu kitabın içerisinde bir problem vardır ki, işte bu problem “Fibonacci sayıları” veya “altın oran” olarak adlandırılan, yüzyıllar boyu sanat ve pek çok diğer alanda araştırmalara konu olan, üzerinde hala tartışılmaya devam edilen, hatta halen günümde “ Fibonacci sayıları” ismi ile halen düzenli olarak yayınlanan dergiler bulunmasına sebep olan problemdir. İşte bu meşhur problem:
Bir tavşan çifliğindeki bir çift tavşan, her ay yeni bir çift tavşan doğurmaktadır. Her yeni doğan çift, iki ay sonra bir çift yavru yapmaya başlar ve bu böylece gider. Kaç ay sonra kaç çift kaç çift tavşan olur. (Tabii bu arada her yeni doğan çiftin birinin dişi diğerinin erkek olduğunu varsayıyoruz. Ayrıca varsayımlarımız bununla da bitmiyor. Tahmin edeceğiniz gibi, bu tavşanların ölümsüz olduğu, adeta bilgisayar gibi programlı bir şekilde doğurdukları gibi başka varsayımlarımızda var. Matematik problemlerinde genelde bu tür varsayımlar üzerinde durmak ihtiyacı hissedilmez).

Bu problemin sonucunda şöyle bir dizi karşımız çıkar:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …. .

Buradaki sayılara dikat edecek olursak, dizide şöyle bir kural olduğunu görürüz: son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir.

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8 ... şeklinde.

Yine bu diziyi asıl ilginç kılan durum dizideki sayıların oranıdır. Dizideki iki ardışık (arka arkaya gelen) sayının oranı aynı sayıya yakınsamaktadır:

0, 61803398…… İşte bu oran, yüzyıllardan beri özellikle mimaride ve resimde sonraları fotoğrafçılıkta ve müzikte çeşitli dönemlerde “Altın Oran” veya “Mükemmel Oran” olarak adlandırılmıştır.

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak: a+b uzunluğunda bir doğru parçası düşünelim.

a b a>b

a+b/ a = a/b

Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

Altın oran yukarıda da bahsettiğimiz gibi sanatın pek çok dalında çeşitli şekillerde kullanılmıştır. Sanat alanında altın oranın kullanımı, yüzyıllardır yapılan çeşitli araştırmalar ile belli prensiplere oturtulmuştur. Örneğin resimde, mimaride altın oranın belirli kullanım yöntemleri vardır. Ancak müzikte altın oranın kullanımının bu kadar eski bir tarihi yoktur. Hernekadar bu konu ile yapılmış olan çeşitli tartışmalar olsa da bu tartışmalar ancak belirli bir çerçevede kalabilmiştir. Müzikte altın oranın bilinçli olarak kullanımı ancak 20. yüzyıl ve sonrasında olmuştur.
Müzikte bazı yirminci yüzyıl bestecileri Fiboanacci serisini bestelerinde uygulamışlardır. Luigi Nono (1924-90) I1 Canto sospeso (1955-56)² adlı eserinde ve Karlheinz Stockhausen (1928-2007) Klavierstück IX (1961)³ adlı eserinde Fibonacci serisini ses uzunluklarında uygulayarak kullanmışlardır. Daha sonraki çalışmalarda Stockhausen bu prensibi ölçü birimlerine uygulamıştır. Örneğin, 13 ölçülük bir pasajda (ki buradaki 13 bir Fibonacci sayısıdır) aşağıdaki örnek1 de gösterildiği gibi , her ölçüde yeni bir ölçü birimi kullanılmıştır ve bu birimlerin hepsi birer Fibonnaci sayısıdır:⁴
Örnek. 1 Stockhausen Klavierstück IX teki ölçü birimleri.

13	2	21	8	1	3	8	1	5	13	2	5	3
8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8

Ayrıca, bazı müzik analizcileri, Fibonacci serilerini bu serilere hiçbir yakınlığı veya yatkınlığı olmayan bestecilerin eserlerinde gözlemlemek istediler. En çok merak edilen, form ve müzik tekniğinde akıcı ve yarı doğaçlama bir stili olan Claude Debussy (1862-1918) idi.

Debussy’nin pek çok eserinde, form açısından önemli noktalar, dinamik veya tını farklılıkları v.s. gibi, bir cümle yapısı altında Fibonacci serisindeki oranlar ile uyumlu bir şekilde ayırılmıştır. Bu konu ile ilgili dikkat çeken bir örnek, bestecinin en ünlü orkestral yapıtlarından birisi olan ; ‘Dialogue du vent et la mer’in La Mer (1903-05) ‘in 55 ölçülük giriş kısmında görülmektedir. Bu 55 ölçü, 21,8,8,5 ve 13 ölçü olarak kendi içerisinde bölünmüştür ki bu sayılar Fibonacci dizisine aittir. Bu girişin en önemli kısmı 34. ölçüde olur ve burada trombonların özel tınıları göze çarpar.⁵
Fiboanacci serisi ile ilişkili olan bir başka besteci Béla Bartók ‘tur (1881-1945). Debussy gibi, Bartok’ta toplum içinde hiçbir zaman müziğinde Fiboanacci sayılarını kullandığından bahsetmemiştir. Ancak besteci ile ilgili çeşitli anektotlarda çam kozalağı, ayçiçeği (ayçiçeği Bartok’un en sevdiği çiçektir) gibi “doğal” formlardan hoşlandığından bahsedilmektedir. Tüm bu örnekler de Fibonacci serilerinin doğadaki örnekleridir.⁶

Ernö Lendvai, Bartok ile ilgili bir seminerinde⁷ bestecinin çeşitli eserlerindeki Fibonacci serilerinden ve özellikle, Music for Strings, Percussion and Celeste (1936) adlı eserinden bahseder. Aşağıda bestecinin bu eserin birinci bölümü ile ilgili olarak Lendvai’nin kısa bir özet halinde form analizi sunulmuştur:⁸

Ex. 2 Bartók’un Music for Strings, Percussion and Celeste eserinin formu (numaralar ölçüleri ifade etmektedir):

	Sergileme sonu		Sürdinsiz			Zirve		Sürdinli		Yapı değişikliği
Füg sergilemesi		Füg gelişimi		Kurulum					Çevirim		Koda
21		12		22			13		13		8
33				22			13		21
55							34
89

Yukarıdaki örneğe baktığımızda, parçadaki bölümlerin, Fibonacci serisindeki sayıların tam olarak karşılığı olmasa da bu sayılara çok yakın değerler olduğu göze çarpmaktadır. Örneğin füg gelişimi, sadece 12 ölçü sürmüştür (13 değil), zirve noktası bekleneceği gibi 55. ölçüde değil 56. ölçüdedir. Analizindeki çok önemli bir başka durum da Lendvai, 88. ölçüden sonraki beklenmedik duraklamanın fazlandan bir ölçü anlamına geldiğini yani bunun da bir Fibonacci sayısı olan 89. sayısı olduğunu düşünmektedir.

Ölçü numaralarının hepsi tam olarak Fibonacci sayıları ile örtüşmese de, oranlar ve Lendvai’nin tespitleri oldukça ikna edici niteliktedir.

Lendvai’nin bu çalışmasındaki temel görüşü özellikle Fibonacci serisinin Bartok’un müziğinde : matematikesl bir yaklaşımdan çok müzik ve doğa arasındaki temel ilişki olarak anlaşılması gerektiğidir.⁹

Günümüzde müziğin tarihsel, kültürel faktörler ile şekillenmiş ve sosyal olgular ile de tamamlanan kültürel bir ürün olarak görüldüğü bir gerçektir. Müzik ve doğa arasındaki ilişki temel bir ilişkidir. Sanatın temel amaçlarından birisinin doğayı taklit etme olduğu görüşü – sanatın taklit teorisi- Aristo’ya kadar uzanan bir tartışmadır ve klasik batı müziğinde de 18.yy sonlarına kadar yaygınlığını korumuştur.¹⁰ Bu teoriyi bağlamında ortaya atılan görüş, doğa ve sanat arasındaki ilişkinin varlığının müzik aracılığı ile evrensel gerçekleri anlamamıza mümkün kılınmasıdır. Bu teori ve bu teorinin çeşitli varyasyonları batı klasik müziğinin gelişime etki etmiştir. “Doğal” olduğuna inanılan müzik kaliteli ve güzel, bunun tersi olarak, doğaya aykırı olan müzik ise kötü müzik olarak algılanmıştır.¹¹
18. yüzyılın sonlarında bu fikir değişikliğe uğramış ve daha çok tutkunun taklidi, dış dünyadan çok insanın “doğal” olan iç dünyası, insanın doğası önem kazanmıştır.¹² Bunula birlikte, taklit teorisi her ne kadar önemini kaybetse de, Romantizm geliştikçe bu fikir yeni bir şekle büründü. Romantik dönemin anlayışına göre, iyi bir romantic dönem bestecisi sadece insanın iç dünyasını anlatmakla kalmamalı aynı zamanda doğadaki insan ruhunun doğa üstü güçlerini de aktarmalı idi.¹³ Bu sanat görüşü – doğa ve insan ruhu arasındaki “etkileşim” in doğa üstü durumu – 19. Yüzyıl sanat oluşumunu belirgin olarak belirlemiştir.
Doğaya olan bu ilgi, belirgin olsa da olmasa da, müzik ve sanat alanında Fibonacci serisinin organik bir yönünü ortaya koymaktadır. Yaklaşık son 200 senedir, müzik alanında yapılan besteler, bestecilerin doğa ve yaşamın kendisi ile ilgili duygularından ortaya çıkmıştır.¹⁴ 19. Yüzyıl sonları ve sonrasında, müzikteki baskın olan “tonalite” kavramı ciddi olarak zayıflamıştır.
Fibonacci serisinin, 20. Yüzyıldan itibaren besteciler tarafından bilinçli olarak kullanılması ile birlikte, dah önce yazılan eserler de belli prensiplere dayandırılabildi. Bunun dışında, Fibonacci sayılarının besteciler tarafından bilinçli olarak kullanımı ve bu konu ile ilgili analizcilerin ortaya attıkları, bir çeşit, bütünleştirici bir müzik geleneğinin olmamasından kaynaklanan bir savunma olarak ta görülebilir. Gerçekten de, Arnold Schoenberg (1874-1951) ve Anton Webern (1883-1945) gibi 20. Yüzyılın once gelen bestecileri kompozisyonlarındaki yeni yaklaşımlarından bahsederken, yaptıkları müzik ile ilgili olarak doğa dışı olmanın önemini üzerine basarak vurgulamışlarıdır.¹⁵ Sonuç olarak, dinleyici için, bir eserin, Fibonacci serilerine uygunluğundan, veya eserin içerisindeki gizli birtakım kuralların keşfinden çok, kuşkusuz, eseri duyduğundaki sonuç, eserin başarılı olup olmadığı önem taşımaktakdır.

1* [Marmara Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Öğretim üyeleri.]

^ Lines, Malcolm ‘Bir sayı tut’ Tübitak yayınları,7. Basım. s. 13.

2^ Bailey, Kathryn ‘‘Work in Progress’: Analysing Nono’s ‘Il Canto Sospeso’’ Music Analysis, Vol. 11, No. 2/3, Alexander Goehr 60th-Birthday Issue (Temmuz - Ekim., 1992) s. 290.

3^ Kramer, Jonathan ‘The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music’ Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 1. (Spring, 1973) s.121.

4^ Kramer, Jonathan ‘The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music’ Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 1. (Spring, 1973) s. 121.

5^ Cited in the entry on ‘Debussy’ on Wikipedia: Howat, Roy Debussy in Proportion: A musical analysis (Cambridge: Cambridge University Press, 1983).

6^ Akt: Lendvai, Ernö Bela Bartók: an Analysis of His Style (Londra: Kahn and Averill, 1971), s. 29.

7^ Lendvai, Ernö Bela Bartók: an Analysis of His Style (Londra: Kahn and Averill, 1971).

8^ Kramer, Jonathan ‘The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music’ Journal of Music Theory, Vol. 17, No. 1. (Spring, 1973) s.122.

9^ Howat, Roy ‘Bartók, Lendvai and the Principles of Proportional Analysis’ Music Analysis, Vol. 2, No. 1 (Mart, 1983) s. 72.

10^ Baker, Nancy Kovaleff ‘Expression (I, 1) The New Grove Dictionary of Music and Musicians 2^. baskı, editor: Stanley Sadie (Londra: MacMillan, 2001).

11^ Goehr, Lydia The Imaginary Museum of Musical Works: An Essay in the Philosophy of Music 1994, s. 163.

12^ Baker, Nancy Kovaleff ‘Expression (I, 1)’ in The New Grove Dictionary of Music and Musicians 2^.. baskı, editor: Stanley Sadie (Londra: MacMillan, 2001).

13^ Goehr, Lydia The Imaginary Museum of Musical Works: An Essay in the Philosophy of Music 1994, ss. 160-61.

14^ See: Solie, Ruth A. ‘The Living Work: Organicism and Musical Analysis’ 19th-Century Music, Vol. 4, No. 2 (Autumn, 1980) s. 149.

15^ Schoenberg , kendisinin uyguladığı disonans müziği “doğaya aykırılık” olarak müdafaa etmiştir. Tarih boyunca bestecilerin giderek daha disonans armonik seriler kullandıklarını, zaman içerisinde bu disonans kabul edilen aralıkların daha kabul görür olduğunu belirtmiş, bu nedenle de Schoenberg kendi müziğinin de bu “doğal” sürecin bir parçası olduğunu ifade etmiştir.