Va 2-ajoyib limitlar. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash

Matematia

1. 
   va 2-ajoyib limitlar. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash.
   

3-MA’RUZA. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash. Reja 1. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. 2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. 1. Ajoyib limitlar. Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi: 1 sin lim = → x x x a ; (9) lim(1 ) , 2,71828... 1 lim 1 1/ 0  = + = =      + → → e e x x x x   (10) Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. Birinchi ajoyib limit. 1-teorema. 1 sin lim 0 = → x x x bo’ladi. Isboti. Radiusi birga teng bo’lgan birlik aylanani ko’raylik . S1 - OAB uchburchakning yuzasi S2 - OAB sektorning yuzasi 3 S - OCB uchburchakning yuzasi bo’lsin. U xolda S1 < S2 < 3 S bo’ladi. OA=OB=R=1 ekanligini e’tiborga olsak S1 = 2 1 OB AD= 2 1 sinx, S2 = 2 1 OB AB = 2 х va 3 S = 2 ОВ СВ = 2 1 tgx bo’ladi. y C A x 0 D B x Demak sinx= OA AD =AD; tgx= OB CB =CB. 2 1 sinx< 2 х < 2 1 tgx  1< x x sin <  cos x 1 cosx< x sin x < 0 lim x→ x sin x < 0 lim x→ 1  0 lim x→ x sin x =1 . Misol. 0 lim x→ 2 1 cos x − x = 0 lim x→ 2 2 2 2sin x x       = 2 1 . Ikkinchi ajoyib limit. Ta’rif. (1+ n 1 ) n o’zgaruvchi miqdorning n → dagi limiti e soni deyiladi, e=2,7182818284... 2-teorema. (1+ x 1 ) x funksiyaning x → dagi limiti mavjud bo’lib e soniga teng bo’ladi. x→ lim (1+ x 1 ) x =e (3) 1. x → deylik, bu xolda x ning xar qanday qiymati ikki musbat butun sonlar orasida yotadi. n  x< х 1  n 1  1+ 1 1 n +

Kalit soʻzlar: Chap limit, oʻng limit, birinchi ajoyib limit, ikkinchi ajoyib limit,, cheksiz kichik funksiya, cheksiz katta funksiya, ekvivalent funksiyalar.

1. Bir tomonlama limitlar
Har bir son uchun shunday mavjud boʻlsaki, tеngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tеngsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti dеyiladi va quyidagicha bеlgilanadi: yoki yoki
Agar boʻlsa, u holda koʻrinishida yoziladi.
Agar funksiyaning nuqtadagi yoki dagi limiti ta’rifida x oʻzgaruvchi a dan katta (ya’ni ) boʻlganicha qolsa, u holda funksiyaning limiti nuqtadagi oʻng limiti dеyiladi va quyidagicha bеlgilanadi: yoki yoki

Agar boʻlsa, u holda bunday yoziladi:

funksiyaning nuqtadagi chap va oʻng limitlari bir tomonlama limitlar dеb ataladi. Agar funksiya nuqtada limitga ega boʻlsa, uning shu nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va oʻzaro teng boʻladi. Bunga tеskari da’vo ham oʻrinli. Dеmak, funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular oʻzaro tеng boʻlganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega boʻladi.

1-teorema. bo’ladi.

Isboti. Radiusi birga teng bo’lgan birlik aylanani ko’raylik . - OAB uchburchakning yuzasi - OAB sektorning yuzasi - OCB uchburchakning yuzasi bo’lsin. U xolda < < bo’ladi. OA=OB=R=1 ekanligini e’tiborga olsak = OB AD= sinx, = OB AB = va = = tgx bo’ladi.

y C A x 0 D B x

Demak sinx= =AD; tgx= =CB.

sinx< < tgx 1< <
cosx< <1 cosx< < 1
=1 .
Misol. = = .

Ikkinchi ajoyib limit.

Ta’rif. (1+ )ⁿ o’zgaruvchi miqdorning n dagi limiti e soni deyiladi, e=2,7182818284...
Amaliy mashg’ulotlarda ko’p uchraydigan quyidagi limitlarni xam talabalarning bilishi maqsadga muvofiq bo’lar edi.

(1- )^x=e^–k ; (1+ ) ^x =e ^k ,

=n; =-n,
=lna ; =1,
=log_ae.

Misollar.

Hisoblang:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. x(ln(x+3)-lnx) 17 . 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25.