Vektor maydonidagi ikkinchi tartibli amallar nabla operatori bilan almashtirish

2.Divergensiyaning fizik ma’nosi. (68) divergensiya tushunchasiga fizik talqin beramiz.
Faraz qilaylik, sohada oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni berilgan bo‘lsin.
Ushbu

nisbat hajm birligiga bo‘lingan suyuqlik miqdorini aniqlaydi, ya’ni manbaning ( bo‘lganda) yoki ( bo‘lganda) o‘rta hajmiy quvvatini ifodalaydi. Bu nisbatning limiti

(17) divergensiya bo‘lib, u berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini ifodalaydi.
Agar bo‘lsa, suyuqlik sarfi musbat, ya’ni nuqtani o‘rab olgan cheksiz kichik sirt orqali tashqi normal yo‘nalishida suyuqlik oqib kirganidan ko‘proq oqib chiqib ketadi. Bunda nuqta manba bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, u holda nuqta qurdum bo‘ladi. kattalik manbaning yoki qurdumning quvvatini ifodalaydi.
Agar bo‘lsa, u holda nuqtada na manba na qurdum bo‘ladi. (67) vektor shaklida yozilgan Ostogradskiy teoremasi oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonida yopiq sirt orqali oquvchi suyuqlikning oqimi hamma manbalar ba qurdumlar quvvatlarining yig‘indisiga teng bo‘lishini, ya’ni qaralayotgan sohada vaqt birligi ichida paydo bo‘ladigan suyuqlik miqdoriga teng bo‘lishini ifodlaydi.
Ta’rif. vektor maydonning divergensiyasi sohaning har bir nuqtasida nolga teng bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, bu vektor maydon shu sohada solenoidli (yoki naychasimon) maydon deyiladi.

Shuning uchun solenoidli maydon uchun Ostogradskiy formulasiga ko‘ra

formulani hosil qilamiz, bu yerda yopiq sirt bo‘lib, sohani chegaralovchi tashqi normal yo‘nalishida orientirlangan. Bu maydonda biror yuzachani olamiz va chegarasining har bir nuqtasidan vektor chiziqlar o‘tkazamiz (7-chizma). Bu chiziqlar fazoning vektor naycha deb ataluvchi qismini chegaralaydi. Agar vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini tashkil etsa, u holda suyuqlik oqishi davomida bunday naycha bo‘ylab uni kesib o‘tmasdan harakatlanadi.

12-chizma.
yuzacha biror kesim va naychaning yon sirti bilan chegaralangan shunday naychaning biror qismini ko‘rib chiqamiz. (18) tenglik bunday yopiq sirt uchun quyidagi ko‘rinishni oladi:

bu tashqi normal bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektor.

Naychaning yon sirtida normallar vektor maydoniga perpindikulyar bo‘lgani uchun

bo‘ladi va (70) tenglikdagi uchinchi qo‘shiluvchi nolga teng:

Shuning uchun (19) formula bunday ko‘rinishni oladi:

bundan

kelib chiqadi. yuzachadagi normalning yo‘nalishini tashqidan ichkiga almashtirib,

munosabatni hosil qilamiz. Bu solenoidli maydonda vektor naychaning har bir kesimidan o‘tkazilgan vektor chiziqlar yo‘nalishidagi vektorlar oqimi bir xil bo‘ladi, ya’ni manbasiz va qurdumsiz maydonda (chunki ) vektor naychaning har bir kesimidan bir xil miqdorda suyuqlik oqib o‘tadi. Solenoidli maydondagi vektor chiziqlar hech qayerda yo‘qolmaydi.