y = f (x) funktsiya (a, b) intervalda berilgan bo‘lib, x0 shu intervalning biror nuqtasi bo‘lsin. Bu x0 nuqtaga x orttirma (x0, x0 + x(a, b)) berib, berilgan funktsiyaning orttirmasini topamiz:
y = f (x) = f (x0 + x) – f(x0)
Ravshanki, funktsiya orttirmasi x ga boғliq bo‘ladi. 1 ta’rif. Agar
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funktsiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va
f’ (x0 ) yoki yoki
kabi belgilanadi.
Demak,
Agar x0 + = x deb olinsa, unda = x – x0 va da bo‘lib,
bo‘ladi. Bu xoll funktsiya hosilasini
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflash mumkinligini ko‘rsatadi.
Misol. Ushbu funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.
Berilgan funktsiya da aniqlangan. Uning nuqtadagi orttirmasi
ga teng. Unda
bo‘lib,
Demak, berilgan funktsiyaning nuqtadagi hosilasi 2 ga teng.
Demak, berilgan funktsiyaning nuqtadagi hosilasi 2 ga teng.
Ushbu
funktsiyaning ixtiyoriy x nuqtadagi hosilasini toping.
Bu funktsiyaning x nuqtadagi orttirmasi bo‘lib,
bo‘ladi.
Keyingi tenglikda da limitga o‘tib topamiz:
Keyingi tenglikda da limitga o‘tib topamiz:
Demak, berilgan funktsiyaning x nuqtadagi hosilasi
bo‘lar ekan.
Agar
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit funktsiyaning nuqtadagi o‘ng hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak,
Agar
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit funktsiyaning nuqtadagi chap hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak
Funktsiyaning o‘ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deyiladi.
Funktsiyaning hosilasi, funktsiyaning o‘ng va chap hosilalari ta’riflaridan bevosita quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.
Funktsiyaning hosilasi, funktsiyaning o‘ng va chap hosilalari ta’riflaridan bevosita quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.
bo‘lsa, uni ham funktsiyaning nuqtadagi hosilasi deb qaraladi. Odatda bunday xosila cheksiz hosila deyiladi.
