Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish.
Vektor maydoni sirkulyatsiyasi.
Faraz qilaylik, sohada vektor maydon
vektor orqali hosil qilingan bo‘lsin. Bu sohada biror chiziqni olamiz va unda ma’lum yo‘nalishni tanlaymiz.
Ta’rif. Yo‘nalgan chiziq bo‘yicha olingan ushbu
ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi
integral vektorning chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integrali deyiladi (13-chizma).
13-chizma.
Agar vektor kuch maydoni hosil qilsa, vektorning chiziq bo‘yicha chiziqli integrali ma’lum yo‘nalishda chiziq bo‘yicha bajariladigan ishga teng bo‘ladi.
Ta’rif. Yopiq kontur bo‘yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va harfi bilan belgilanadi, ya’ni
Stoks formulasi.
Teorema. Agar funksiyalar o‘zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi.
bu yerda birlik vektor normalining sirtga yo‘naltiruvchi kosinuslari, bu sirtning chegarasi.
(71) formula Stoks formulasi deyiladi. Bu formulada kontur bo‘yicha integrallash yo‘nalishi sirtning tanlangan tomoni bilan quyidagi qoida bo‘yicha moslashtiriladi: normalning oxiridan konturni aylanib o‘tish soat miliga qarshi yo‘nalishda kuzatiladi (aylanib o‘tishning bunday yo‘nalishi musbat yo‘nalish deb atalgan).
Vektor maydon uyurmasi.
Faraz qilaylik, fazoning sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bo‘lsin:
Ta’rif. vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb nuqtaning bilan belgilanadigan va
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni nuqtada topamiz.
Misol. Ushbu
vektor maydonning uyurmasini toping.
Yechish. ga egamiz. Xususiy hosilalarni topamiz:
Demak,
Uyurma tushunchasidan foydalanib, (20) Stoks formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:
va bunday ifodalash mumkin: vektorning sirtni chegaralovchi konturni aylanib chiqishning musbat yo‘nalishi bo‘yicha sirkulyatsiyasi vektorning shu sirt orqali o‘tadigan oqimiga teng.
Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to‘g‘ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin:
bunda o‘zgarmas skalyar;
bunda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
Dostları ilə paylaş: |
