Adil Əliyev – İnf – 11, Furye sıraları

Adil Əliyev – İNF – 11, Furye sıraları

Furye sıraları

Periodik kəmiyyət və harmonik analiz
Elm və texnikada tez-tez periodik hadisələrə rast gəlinir, belə ki, period adlanan müəyyən T zaman fasiləsindən sonra əvvəlki vəziyyətə qayıdılması ilə müəyyənləşdirilir. Buna misal olaraq buxar maşınının hərəkətini göstərmək olar. Bu zaman məlum dövrlərin sayından sonra yenə əvvəlki vəziyyətə qayıdılır, dəyişən cərəyan yaranır və s. Baxılan periodik hadisələrlə əlaqəli müxtəlif kəmiyyətlər T periodundan sonra əvvəlki qiymətini alır, uyğun olaraq, t –dən asılı periodik funksiya aşağıdakı bərabərliklə müəyyən edilir:

.
Belə ki, dəyişən cərəyanın güc və gərginliyi və ya – buxar maşını misalında – kreys-kopfun yol, sürət və təcili, buxarın təzyiqi, krivoşip barmağının toxunma ğücü və s.

Ən sadə periodik funksiya ( əgər sabit hesab etməsək) sinusoid kəmiyyətidir: A sin(ωt + α),

burada ω tezlikdir, T periodundan asılıdır və aşağıdakı münasibətlə ifadə olunur:

. (1)

Bu cür sadə periodik funksiyalardan daha mürəkkəblərini qurmaq olar. Əvvəlcədən məlumdur ki, sinusoidal kəmiyyətlər müxtəlif tezliklərdə ola bilər, çünki asanlıqla inanmaq olar ki, eyni tezlikdən olan sinusoidal kəmiyyətlərin toplanması elə həmin tezlikdə olacaq. Bu isə bizə heç nə vermir. Əksinə aşağıdakı şəkildə verilən kəmiyyətlərin toplanması

(2)
əgər sabit hesab etməsək, tezlikləri ω, 2ω, 3ω , bunların ən kiçik bölünənləri ω, periodları isə

olarsa, periodik funksiya (T-dən asılı) alarıq, bu isə (2) tipli kəmiyyətdən əsaslı fərqlidir.

Misal üçün burada (şəkil) üç sinusoidal kəmiyyətin cəminə baxaq:

;
Bu funksiyanın qrafiki öz xarakterinə görə sinusoiddən ciddi fərqlənir. Daha böyük dərəcələrdə bu (2) tipli kəmiyyətlərdən ibarət sonsuz sıraların cəmi olar.

Əks məsələyə baxaq: verilmiş T periodlu φ(t) periodik funksiyasını (2) tipli sinusoidal kəmiyyətlərin sonlu və ya heç olmazsa sonsuz çoxluqlarınin cəmi şəklində göstərmək olarmı?

Aşağıda görəcəyik ki, əgər bütün (2) tipli sonsuz kəmiyyətlər ardıcıllığını qəbul etcək, daha geniş funksiyalar sinfi üçün bu suala qəti cavab vermək olar.
Bu sinif funksiyalar üçün

troqonometrik sıraların ayrılışını göstərmək olar:

(3)
Burada , hər bir funksiya üçün xüsusi qiymətləri olan sabitlərdir, ω tezliyi isə (1) düsturu ilə verilir.

Həndəsi yolla izahı o deməkdir ki, periodik funksiyanın qrafiki , sinusoid sıralarının üst-üstə yerləşdirilməsindən alınır. Hər bir sinusoidal kəmiyyəti mexaniki harmonik rəqslərin hərəkəti kimi izah etsək, onda demək olar ki, burada φ(t) funksiyası ilə xarakterizə olunan mürəkkəb rəqslər ayrı-ayrı harmonik rəqslərə ayrılır.

Bununla əlaqədar olaraq, (3) ayrılışına daxil olan hər bir sinusoidal kəmiyyətləri φ(t) funksiyalarından ibarət harmonik və ya sadəcə olaraq onun harmonikası (birinci, ikinci və s.)

adlandırırlar. Periodik funksiyaların harmonikalara ayrılışı prosesi harmonik analiz adlanır.

Əgər asılı olmayan dəyişən kimi

götürsək, onda x-dən asılı belə bir funksiya alarıq:

.

Bu funksiya 2π periodu ilə periodik funksiyadır. Onda (3) ayrılışı belə olar:

(4)
Bu sıranın hədlərini çeviribsinusun cəmləri düsturunu tətbiq etsək

(n= 1,2,3, ...),
Aşağıdakı triqonometrik ayrılışı alarıq:
(5)

Buradakı x bucaöından asılı, 2π periodlu funksiya x-ə bölünən sinus və kosinus bucaqlarını ayrılışlarıdır.