Asi 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres



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tarix12.08.2018
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#70053


ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur


Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté



Fréquences de résonance



Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963)



Amplitude de la réponse d ’un système oscillant



Définition illustration



Cercles de Gerschogrin



Démonstration



Supposons que l’on connaisse une valeur propre



intuition



intuition



Puissance itérée



Comment calculer la plus petite valeur propre ?



Comment calculer la plus petite valeur propre ?



Comment calculer la plus petite valeur propre ?



Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation



Propriétés des valeurs propres



Matrices équivalentes



Principe de la méthode QR



La méthode QR



QR et valeurs propres



Méthode de Householder



Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)



SVD : décomposition en valeurs singulières



Conclusion

  • on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre

  • on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre

  • calculer un vecteur et la valeur propre associé

    • la plus grande : puissance itérée
    • la plus petite : puissance inverse
    • la plus proche de k : puissance modifiée
  • calculer toutes les valeurs propres d’un coup

    • A est symétrique : méthode de Jacobi
    • cas général : méthode QR


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