Bütün kompleks ədədlərin çoxluğunu



Yüklə 38,83 Kb.
səhifə1/3
tarix15.06.2022
ölçüsü38,83 Kb.
#116967
  1   2   3
Müh. 3 (Kompleks dəyişənli funksiyalar) PdfToWord


Eyriler
Bütün kompleks ədədlərin çoxluğunu 𝐶 ilə işarə edəcəyik. Tutaq ki, 𝑎 ∈ 𝐶 nöqtəsi və 𝑟 > 0 həqiqi ədədi verilmişdir. Onda |𝑧 − 𝑎| < 𝑟 şərtini ödəyən bütün 𝑧 ∈ 𝐶 kompleks ədədlərinin çoxluğuna 𝑎 nöqtəsinin 𝑟-ətrafı deyilir. Bu ətrafı biz 𝑈𝑟(𝑎) kimi işarə edəcəyik. Deməli,
𝑈𝑟(𝑎) {𝑧: 𝑧 ∈ 𝐶, |𝑧 − 𝑎| < 𝑟}.

𝑟
Həndəsi olaraq, 𝑈𝑟(𝑎) çoxluğu kompleks müstəvi üzərində mərkəzi 𝑎 nöqtəsində yerləşən və radiusu 𝑟 müsbət ədədinə bərabər olan açıq dairəni göstərir. Bu dairənin çevrəsi dairəyə aid edilmir. 𝑈𝑟(𝑎) çoxluğundan 𝑎 nöqtəsini atdıqda alınan çoxluğa, yəni 𝑈𝑟(𝑎)\{𝑎} çoxluğuna 𝑎 nöqtəsinin oyulmuş (deşilmiş) 𝑟-ətrafı deyilir. Bu ətrafı biz 𝑈0(𝑎) kimi işarə edəcəyik. Deməli,

𝑟
𝑈0(𝑎) = {𝑧: 0 < |𝑧 − 𝑎| < 𝑟}.
İndi 𝐸 ⊂ 𝐶 çoxluğunu və 𝑎 ∈ 𝐸 nöqtəsini götürək. Əgər 𝑎 nöqtəsi 𝐸 çoxluğuna özünün müəyyən ətrafı ilə birlikdə daxil olarsa, onda 𝑎 nöqtəsinə 𝐸 çoxluğunun daxili nöqtəsi deyilir. Əgər 𝐸 çoxluğunun bütün nöqtələri onun daxili nöqtələridirsə, onda 𝐸-yə açıq çoxluq deyilir.
Əgər 𝐸 ⊂ 𝐶 çoxluğunun ixtiyari iki nöqtəsini tamamilə bu çoxluqda yerləşən sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək mümkündürsə, onda 𝐸 çoxluğuna rabitəli çoxluq deyirlər.
Rabitəli və açıq olan çoxluğa oblast deyilir. Yoxlamaq olar ki, 𝑟 ixtiyari müsbət ədəd olduqda 𝑈𝑟(𝑎) çoxluğu rabitəli və açıq çoxluqdur, yəni oblastdır.
Əgər bizə bir 𝐺 oblastı verilibsə, onda kompleks müstəvinin bütün nöqtələrini bu oblasta nəzərən iki sinfə bölmək olar. Birinci sinfə 𝐺 oblastının nöqtələrini, ikinci sinfə isə 𝐺 oblastına daxil olmayan nöqtələri aid edək. İkinci sinfə aid olan nöqtələri də iki hissəyə ayırmaq olar.
Əgər 𝐺-yə daxil olmayan nöqtənin 𝐺 ilə kəsişməyən ətrafı varsa, onda belə nöqtəyə 𝐺-nin xarici nöqtəsi deyəcəyik. Əgər 𝐺-yə daxil olmayan nöqtənin ixtiyari ətrafında 𝐺-nin elementi varsa, belə nöqtəyə 𝐺-nin sərhəd nöqtəsi deyirlər. 𝐺 oblastının bütün sərhəd nöqtələrinin çoxluğuna bu oblastın sərhədi deyilir.
Sərhədi olmayan yeganə oblast genişlənmiş kompleks müstəvidir.

𝐺 oblastı ilə onun sərhədinin birləşməsinə qapalı oblast deyilir və 𝐺 kimi işarə olunur.
İndi Jordan əyrisi anlayışı ilə tanış olaq. Hesab edək ki, 𝑥(𝑡) və 𝑦(𝑡) verilmiş [𝛼, 𝛽] parçasında təyin olunmuş həqiqi və kəsilməz funksiyalardır. Kompleks müstəvi üzərində yerləşən 𝑧(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽], nöqtələrinin çoxluğuna kəsilməz əyri deyirlər. Bu halda


{
𝑥 = 𝑥(𝑡),
𝑦 = 𝑦(𝑡),

𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽], (1)



tənliklərinə həmin əyrinin parametrik tənlikləri deyirlər. Bu əyrini 𝐿 ilə işarə etsək, onda 𝐿 = {𝑧: 𝑧 = 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽]} yaza bilərik. 𝑧(𝛼) = (𝑥(𝛼), 𝑦(𝛼))


𝑧(𝛽) = (𝑥(𝛽), 𝑦(𝛽)) nöqtələrinə 𝐿 əyrisinin uc nöqtələri deyirlər. Əgər 𝑡
parametrinin müxtəlif qiymətlərinə əyrinin müxtəlif 𝑧(𝑡) nöqtələri (𝑧(𝛼)
𝑧(𝛽) nöqtələri istisna olmaqla) uyğun olarsa, onda belə əyriyə Jordan əyrisi deyirlər. 𝑧(𝛼) nöqtəsinə əyrinin başlanğıc nöqtəsi, 𝑧(𝛽)-ya isə son nöqtəsi deyilir. 𝑧(𝛼) = 𝑧(𝛽) olduqda əyriyə qapalı əyri, 𝑧(𝛼) ≠ 𝑧(𝛽) olduqda isə açıq əyri deyirlər.
Əyrinin Jordan əyrisi olması o deməkdir ki, bu əyrinin öz-özünü kəsmə nöqtəsi yoxdur.
Qeyd edək ki, 𝐿 əyrisinin tənliyini kompleks şəkildə belə də yazmaq olar:
𝑧 = 𝑧(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑥(𝑡) + i𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽].
Əgər 𝐺 oblastının daxilində yerləşən ixtiyari qapalı Jordan əyrisinin əhatə etdiyi oblast 𝐺-yə daxildirsə, onda 𝐺 oblastına birrabitəli oblast deyirlər. Bu şərti ödəməyən oblasta isə çoxrabitəli oblast deyilir..

Yüklə 38,83 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin