Centrul de excelenţĂ pentru tineri capabili de performanţĂ iaşi anul şcolar 2010 2011



Yüklə 138,65 Kb.
tarix01.11.2017
ölçüsü138,65 Kb.

CENTRUL DE EXCELENŢĂ PENTRU TINERI CAPABILI DE PERFORMANŢĂ IAŞI

Anul şcolar 2010 - 2011
Probleme de geometrie rezolvate vectorial

Clasa a IX-a
Prof. Iurea Gheorghe

Prof. Munteanu Daniela
1. Considerăm în plan punctele M şi N şi triunghiul ABC. Dacă şi , demonstraţi că A, M, N sunt coliniare dacă şi numai dacă

Soluţie: ; A, M, N coliniare
2. Fie triunghiul ABC cu laturile a, b, c, iar I centrul cercului înscris, M şi N astfel încât Să se arate că M, I, N sunt coliniare dacă şi numai dacă mb + nc = a.

Soluţie: .

M, I, N coliniare
Observaţie: Folosind teorema transversalei, M, I, N coliniare


3. Fie Demonstraţi că , pentru orice punct P din plan.
4. Fie ABC un triunghi, iar P şi Q mijloacele laturilor (MN) şi (BC). Dacă PQ este paralelă cu bisectoarea unghiului A, arătaţi că

Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC şi BM = x, CN = y.

; ‌‌PQ || AD x = y.
5. Fie triunghiul ABC şi centrele O, I ale cercurilor circumscris, respectiv înscris. Să se arate că dacă are loc relaţia atunci

Soluţie: .

Cum , rezultă deci



şi
6. Fie triunghiul ABC, M mijlocul lui (AC), astfel încât şi Arătaţi că punctele A, N, P sunt coliniare.

Soluţie: deci
7. Fie , , vectori nenuli astfel încât + , - , +2 + 3 sunt coliniari. Arătaţi că , , sunt coliniari.

Soluţie: + = x ; - = y , + 2 + 3 = z , x, y, z numere reale, iar direcţia comună. Rezultă: .
8. În triunghiul ABC considerăm . Fie , Dacă , determinaţi .

Soluţie: ; ; . coliniari , deci .
9. O mulţime are 2010 vectori cu lungimi ce formează mulţimea {1, 2, ..., 2010} şi au direcţiile paralele cu două drepte concurente date. Demonstraţi că suma acestor vectori este nenulă indiferent de direcţiile şi sensurile lor.

Soluţie: Fie şi vectorii daţi.

.

Din



ceea ce este fals.
10. Considerăm triunghiul ABC şi AD, BF, CE bisectoarele unghiurilor triunghiului. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Atunci condiţia dată impune:

, deci


11. Fie ABC un triunghi şi M un punct din planul său. Notăm cu simetricele punctului M faţă de mijloacele laturilor BC, CA, AB. Demonstraţi că sunt concurente.

Soluţie: Fie mijloacele laturilor BC, CA, AB. Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X faţă de un punct oarecare O din plan. Rezultă . Căutăm care să se exprime simetric în funcţie de . , alegem Va rezulta şi .
12. Fie A, B distincte în plan şi M arbitrar în plan. Arătaţi că .

Soluţie: coliniari
13. Fie H ortocentrul triunghiului ABC, M, N, P mijloacele laturilor BC, CA respectiv AB, iar astfel încât Să se arate că sunt concurente.

Soluţie: Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X faţă de O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC şi . Atunci şi Căutăm un punct astfel încât să se exprime simetric în funcţie de .

alegem x astfel încât

deci Atunci Rezultă şi Prin urmare, dreptele sunt concurente în Q.
14. Fie ABCD un dreptunghi înscris în cercul C(O, R), M un punct de pe cerc şi ortocentrele triunghiurilor MAB, MCD. Demonstraţi că M este mijlocul lui

Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris dreptunghiului. Atunci avem:

, . Cum .
15. Fie un triunghi înscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor , unde M este un punct de pe cerc. Să se arate că sunt concurente.

Soluţie: Dreptele sunt concurente în mijlocul segmentului MH, H ortocentrul triunghiului .
16. Se consideră rombul ABCD şi M (AB), N (BC) şi P (DC). Să se arate că centrul de greutate al triunghiului MNP se află pe dreapta AC AM + DP = BN.

Soluţie: Alegem reperul cu originea în O, intersecţia diagonalelor rombului. Rezultă: si , unde l = AB, x = AM, y = BN, z = DP.

Atunci G AC există u R astfel încât x y + z = 0.


17. Se consideră triunghiul ABC şi punctele Să se arate că mijloacele segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare dacă şi numai dacă

Soluţie: Fie Notăm cu M mijlocul lui (AB), P mijlocul lui (AC) şi N mijlocul lui (DE). Avem: .

M, N, P coliniare . Rezultă că


18. În paralelogramul ABCD se dau : AB = 4, BD = 3, BC = 2. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABD, I centrul cercului înscris în triunghiul BCD şi cu . Să se arate că G, I şi M sunt coliniare şi IG = 2IM.

Soluţie: Faţă de un punct arbitrar O, si

deci
19. Fie ABCX şi DEFX paralelograme. Arătaţi că triunghiurile ACE şi BDF au acelaşi centru de greutate.

Soluţie:
20. Fie ABCDE pentagon şi M, N, P, Q punctele de intersecţie ale segmentelor ce unesc mijloacele laturilor opuse în patrulaterele BCDE, CDEA, EABD şi ABCE. Demonstraţi că MNPQ este paralelogram dacă şi numai dacă ABCD este paralelogram.

Soluţie: În raport cu un punct O, şi analoagele.

MNPQ este paralelogram .
21. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, iar M, N, P, Q mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD), (DA). Arătaţi că perpendicularele din M pe CD, din N pe DA, din P pe AB şi din Q pe BC sunt concurente.

Soluţie: Notăm cu O centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD, E intersecţia perpendicularelor din M pe CD şi din P pe CD, iar F intersecţia perpendicularelor din Q pe BC şi din N pe AD. MOPE şi OQFN sunt paralelograme. Rezultă
22. Se consideră un triunghi ABC şi punctele M (AB), N (AC). Demonstraţi că dreapta MN conţine centrul de greutate al triunghiului dacă şi numai dacă

Soluţie: Fie . Faţă de un punct oarecare O,

şi
23. Fie ABCDEF un hexagon regulat şi M (AC), N (CE) astfel încât Determinaţi k astfel încât punctele B, N, M să fie coliniare.
Soluţie: În raport cu un punct O, ; . Dacă Q este centrul hexagonului, atunci şi , deci .

B, N, M sunt coliniare dacă există x R astfel încât ;

rezultă 1 – k = 2(1 – x) k; 0 = x – 3(1 – x) k, k = (1 – x)(1 – k) + 2(1 – x) k. Deducem .


24. Fie ABC un triunghi. Să se arate că IG || BC dacă şi numai dacă AB + AC = 2BC.

Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC.

IG || BC
25. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluţie: Fie ,

deci ON = OM = OP.

Din teorema lui Stewart avem:

Rezultă a = b = c.


26. Fie triunghiul ABC şi L, M astfel încât , iar . Să se arate că A, M, L sunt coliniare.

Soluţie: , deci
27. Se consideră punctele A, B, C, D coplanare, oricare trei necoliniare şi R, S ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv ABD. Să se arate că A, B, C, D sunt conciclice dacă şi numai dacă .

Soluţie: Fie centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC şi ABD. Faţă de un punct O, avem: , deci

. Astfel,
28. Fie ABC un triunghi, .

a) Demonstraţi că AD < kAB + (1 - k)AC;

b) Dacă (AD este bisectoarea unghiului A, demonstraţi că .

Soluţie: a)

b)


29. Pe laturile (BC) şi (CD) ale patrulaterului convex ABCD, se consideră punctele M şi N astfel încât

Fie Dacă arătaţi că ABCD este paralelogram.

Soluţie: Fie , a şi b numere reale.

Rezultă: şi deci



ABCD paralelogram.
30. Fie ABC un triunghi, D mijlocul lui BC, M, N puncte pe BC astfel încât BM = CN. Arătaţi că



Soluţie: Fie . Atunci deci

şi
31. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc de centru O şi X un punct în planul său. Se notează cu , respectiv simetricele punctului X faţă de ortocentrele, respectiv centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Să se arate că:

a) Dreptele sunt concurente într-un punct H.

b) Dreptele sunt concurente într-un punct G.

c) Punctele Y, H, G sunt coliniare, Y simetricul lui X faţă de O.



Soluţie: Alegem un reper cu originea în O.

a) Avem: , deci Căutăm a R astfel încât să se exprime simetric în funcţie de

Cum alegem Obţinem:

Astfel, dreptele sunt concurente în H.
b) Din , deducem Procedând ca mai sus, dreptele sunt concurente în G şi
c) Avem: Punctele Y, H, G sunt coliniare dacă există astfel încât

găsim


32. Fie ABCD un patrulater inscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Arătaţi că sunt concurente.

Soluţie: În raport cu un reper cu originea în O, . Căutăm care se exprimă simetric în

. Alegem
33. Pe laturile AB, BC, CD, DA ale paralelogramului ABCD se consideră M, N, P, Q astfel încât

unde l, m, n, p > 0 şi . Arătaţi că dreptele QN, PM şi AC sunt concurente.

Soluţie: şi analoagele. Relaţia dată devine:

, deci m = l şi k = p. Rezultă AM = CP şi BN = DQ. Din paralelogramele AMCP, BNDQ şi ABCD rezultă concurenţa cerută.

34. Fie ABCD, CEFG, FHAI paralelograme. Daca M, N sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BEF şi DIG, atunci centrul de greutate al triunghiului ACF este mijlocul lui (MN).

Soluţie: Folosim: “Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi UVW, atunci şi dacă XYZT este paralelogram, atunci .
35. Triunghiurile ABC şi A’B’C’ au acelaşi centru de greutate. Demonstraţi ca AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi.

Soluţie: , deci AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi.
36. Fie ABCD un patrulater convex, G centrul de greutate al triunghiului BCD şi H ortocentrul triunghiului ACD. Demonstraţi că ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă G coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului ACD.

Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ACD. În raport cu O, ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă

, deci
37. Fie ABCDE un pentagon şi M, N, P, Q, R, S mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DE, MP şi NQ. Arătaţi că .

Soluţie: şi analoagele. Deducem

şi , deci .


38. Fie ABCDE pentagon inscriptibil, iar ortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, CDE, DEA, EAB şi mijloacele segmentelor DE, EA, AB, BC, CD. Demonstraţi că dreptele sunt concurente.

Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris pentagonului. Faţă de O,

Căutăm un punct care sa aibă simetric în .



.

Considerăm si . Rezultă .


39. Arătaţi că într-un triunghi dreptunghic IG nu poate fi paralelă cu ipotenuza, însă poate fi paralelă cu una dintre catete.

Soluţie: Fie triunghiul ABC dreptunghic în A.

IG || BC , în raport cu un punct oarecare O. Rezultă , b + c = 2a. Cum , imposibil.

IG || AB este echivalent cu a = 5k, b = 3k, c = 4k.
40. Fie (AB), (CD) două coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O şi fie P punctul de intersecţie al dreptelor AB şi CD. Să se arate că .

Soluţie: Fie M mijlocul lui (AB), iar N mijlocul lui (CD). Atunci şi

.

41. Fie ABCD un patrulater convex, E mijlocul lui (AC), iar F mijlocul lui (BD). Dacă , , atunci ABCD este paralelogram.

Soluţie: .

Rezultă . Cum , deci ABCD este paralelogram.


42. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, iar centrele de greutate ale triunghiurilor GBC, GCA, GAB. Arătaţi că .

Soluţie: Fie O un punct oarecare al planului. Atunci avem:

.
43. Fie vectorii de poziţie corespunzători vârfurilor triunghiului ABC, iar a, b, c lungimile laturilor BC, CA, AB. Să se arate că dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral.

Soluţie: Avem relaţia dată în forma: , deci triunghiul ABC este echilateral.
44. Să se arate că I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC dacă şi numai dacă , unde a = BC, b = AC, c = AB.

Soluţie: Fie I centrul cercului inscris în triunghiul ABC şi AD bisectoarea unghiului A. Atunci:

. Rezultă .

Reciproc, fie I’ centrul cercului inscris.

Avem:
45. Fie paralelogramul ABCD, E un punct pe diagonala (BD), diferit de centrul paralelogramului şi C’ simetricul lui C faţă de E. Paralela prin C’ la AD taie AB în F, iar paralela prin C’ la AB taie AD în G. Să se arate ca:

a) EF || AC;

b) E, F, G sunt coliniare.

Soluţie: Faţă de un punct oarecare O din planul ABCD,

Din , deci

. Dar C’F || BC, deci . Obţinem: , deci

şi . Rezultă , deci EF || AC.

De asemenea, (din AFC’G paralelogram), deci



. În concluzie, E, F, G sunt coliniare.
46. Fie ABC un triunghi, D un punct pe (AB), E un punct pe (AC) astfel încât . Paralela prin E la BC taie AB în F. Arătaţi că:

a) (AB) şi (DF) au acelaşi mijloc;

b) mijloacele segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare.

Soluţie: Fie Atunci avem: .

a) Dacă M’ este mijlocul lui DF, iar M este mijlocul lui (AB), atunci



, deci M’ = M.

b) Fie M, N, P mijloacele segmentelor (AB), (AC), (DE).

De aici, .

M, N, P coliniare cu .
47. Fie ABCD un patrulater inscriptibil şi M un punct pe cercul circumscris acestuia, diferit de vârfurile patrulaterului. Dacă sunt ortocentrele triunghiurilor MAB, MBC, MCD şi MDA, iar E, F mijloacele segmentelor (AB) şi (CD), atunci:

a) este paralelogram;

b) .

(Olimpiada Judeţeană, 2002)

Soluţie: Folosim vectorii de poziţie faţă de O.

Avem: . Analog Deci În concluzie, este paralelogram.

b)
48. Fie ABC un triunghi, G centrul de greutate şi astfel încât . Notăm cu D, E, F centrele de greutate ale triunghiurilor AMP, BMN, CNP. Să se arate că:

a) triunghiurile ABC şi DEF au acelaşi centru de greutate;

b) pentru orice punct X al planului, avem : .

(Olimpiada Judeţeană, 2002)

Soluţie: a) Fie . Faţă de un punct O, . Dacă este centrul de greutate al triunghiului DEF, iar G al triunghiului ABC, atunci

.

b) Deci (inegalitatea este strictă deoarece un sunt coliniari).




49. Spunem că o mulţime A de vectori nenuli din plan are proprietatea (S) dacă are cel puţin trei elemente şi .

a) Arătaţi că pentru orice , există o mulţime de vectori nenuli, care are proprietatea (S).

b) Demonstraţi că o orice mulţime finită de vectori nenuli, care are proprietatea (S), are cel puţin 6 elemente.

(Olimpiada Judeţeană, 2003)

Soluţie: a) Pentru n = 6 considerăm , unde este hexagon regulat de centru O. Demonstrăm inductiv. Fie o mulţime de n vectori care are proprietatea (S). Construim o mulţime cu (n + 1) vectori, care are aceeaşi proprietate. Dacă

sunt din A, cum sunt distincţi, diferiţi de , rezultă:



, de unde urmează că

, fals. Prin urmare, există astfel încât , multimea (cu (n + 1) elemente) are prorietatea (S).

b) Fie . Alegem două axe, de versori , neparalele cu nici unul dintre vectorii . Rezultă: .

Mulţimea M = are aceeaşi proprietate cu (S).

Fie , cel mai mic element. Atunci există b, c diferite, b, c < 0 astfel încât a = b + c (dacă b > 0 sau c > 0, a nu poate fi cel mai mic element). Rezultă că M conţine cel puţin trei numere negative. Considerând cel mai mare element din M, găsim cel puţin trei numere pozitive în M. Rezultă .


50. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, H ortocentrul său şi respectiv mijloacele laturilor BC, CA, AB. Fie simetricele lui H faţă de , iar ortocentrele triunghiurilor , şi . Demonstraţi că:

a) triunghiurile ABC şi au acelaşi centru de greutate;

b) centrele de greutate ale triunghiurilor , şi formează un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

(Olimpiada Judeţeană, 2005)

Soluţie: În raport cu O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC, .

Din rezultă că , deci este simetricul lui A faţă de O. Rezultă că .

a) Fie centrul de greutate al triunghiului şi G centrul de greutate al triunghiului ABC. Atunci avem: . .

(am folosit etc.). Rezultă

b) Fie centrul de greutate al triunghiului .

Atunci şi analoagele.

Rezultă asemanarea de raport .
51. Fie ABCD un patrulater convex, M mijlocul lui AB, N mijlocul lui BC, E punctul de intersecţie a dreptelor AN şi BD, iar F punctul de intersecţie a dreptelor DM şi AC. Arătaţi că dacă şi , atunci ABCD este paralelogram.

(Olimpiada Judeţeană, 2006)

Soluţie: Fie , cu a şi b numere reale. Rezultă:

. Din coliniari deucem:

a – 2b + 1 = 0. Analog din coliniari urmează că 2a + b + 2 = 0. Rezultă a = -1; b = 0. În concluzie, .
52. Fie triunghiul ABC şi punctele M pe (AB), N pe (BC), P pe (CA), R pe (MN), S pe (NP) şi T pe (PM) astfel încât , .

a) Să se arate că triunghiurile STR şi ABC sunt asemenea.

b) Să se determine astfel încât aria triunghiului STR să fie minimă.

(Olimpiada Judeţeană, 2007)

Soluţie: a) Faţă de un punct O, avem: .

Deoarece are loc relaţia şi relaţiile analoage, rezultă: Analog avem: .

Deci triunghiurile STR şi ABC sunt asemenea, raportul de asemanare fiind t.

b) Raportul ariilor celor două triunghiuri este , deci aria triunghiului STR este minimă dacă t este minim.

Din . Rezultă pentru .
53. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele D şi E, astfel încât

. Fie T intersecţia dreptelor DC şi BE. Să se determine astfel încât

.

(Olimpiada Judeţeană, 2009)

Soluţie: Observăm că vectorii şi au direcţiile vectorilor necoliniari şi , deci suma lor este vectorul nul dacă şi numai dacă ambii sunt nuli. Rezultă că D şi E sunt mijloacele segmentelor (AB) şi (AC), deci T este centrul de greutate al triunghiului ABC. Din rezultă
54. O dreaptă care trece prin I, centrul cercului inscris în triunghiul ABC, taie laturile AB şi AC în P şi Q. Notăm BC = a, AC = b, AB = c, .

a) Arătaţi că .

b) Arătaţi că a = bp + cq.

c) Arătaţi că dacă , atunci dreptele AI, BQ şi CP sunt concurente.



(Olimpiada Judeţeană, 2010)

Soluţie: a) Din si , rezultă concluzia.

b) Avem: . Din P, I, Q coliniare, rezultă , deci

(apb)(acp) = bcpq.

c) Din şi din reciproca teoremei lui Ceva rezultă concurenţa cerută.


55. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A şi M un punct pe (AB) astfel încât . Să se determine măsura unghiului B ştiind că simetricul lui M faţă de mijlocul segmentului GI aparţine dreptei AC.

(Olimpiada Naţională, 2002)

Soluţie: În raport cu un punct O, avem: , unde

. Fie M’ simetricul lui M faţă de mijlocul lui (GI). Rezultă .

Din faptul că M’ este situat pe (AC) urmează că , deci avem:



+ - = , de unde obţinem

, de unde, ţinând cont şi de teorema lui Pitagora, rezultă şi măsura unghiului B egală cu 30°.
56. Fie ABCD un patrulater convex şi E punctul de intersecţie a dreptelor AD şi BC, iar I punctul de intersecţie a dreptelor AC şi BD. Dacă triunghiurile EDC şi IAB au acelaşi centru de greutate, atunci AB || CD şi

(Olimpiada Naţională, 2005)

Soluţie: Alegem reperul cu originea în I, deci , , cu m, n numere reale.

Din E, B, C şi E, A, D coliniare rezultă , iar de aici urmează că



n(1 – x) = y şi x = (1 – y)m.

Cum triunghiurile EDC şi IAB au acelaşi centru de greutate, avem:



, deci , x + m = 1.

Din relaţiile deduse găsim m = n, . Astfel, , deci



AB || CD şi m < 0.

Din şi






Yüklə 138,65 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2020
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə