Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

xmlns:w="urn:schemas-microsoft-com:office:word"
xmlns="http://www.w3.org/TR/REC-html40">
Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

Aim.uz

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
funksiya biror kesmada aniqlangan va uzluksiz bozining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi.
Veyershtrass teoremasida kesmada uzluksiz funksiyalar uchun eng katta va eng kichik qiymatlar mavjudligi tasdiqlanadi, ammo ularni qanday topish masalasi qaralmaydi. Agar funksiya kesma ichida differnsiallanuvchi bo, kritik nuqtalar topiladi va ulardan kesmaga tegishli boladi.
Agar funksiya kesmada monoton olsa, u holda va bolsa, u holda va bolib u maksimum (minimum) boladi.

Juda kopligi va ularning muhimligi matematik analizning rivojlanishi uchun muhim turtki bopincha masala shartiga asosan erkli olgan miqdorni u orqali ifodalash (funksiyani tuzish) keyin esa hosil qilingan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish kerak bozgaruvchining oi (chekli yoki cheksiz) ham masala shartidan aniqlanadi.

Balgan funksiya tayyor holda berilishi ham mumkin.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.

Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

;
2) tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz: , , ;
Kritik nuqtalarning har uchalasi kesmaga tegishli. Funksiyaning kritik nuqtalardagi va kesmaning chetlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
, .
Bu qiymatlarni taqqoslab eng katta qiymat eng kichik qiymat ekanligini aniqlaymiz.

2. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.

Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:


;
2) Kritik nuqtalarni topamiz: , , va ;
Demak, kritik nuqta ikkita boni nuqta qaralayotgan kesmaning ichki nuqtasi boladi.

3. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.

Yechish: 1) Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:


;
2) tenglamani yechib kritik nuqtalarni topamiz:


, , .
Demak, va kritik nuqtalar bozgarishi biror kesma bilan chegaralanmagan va funksiya da aniqlangan. Shuning uchun biz funksiyaning qiymatlarini ning dagi qiymatlarida qaraymiz.
1) hosilani topamiz: ;
2) Kritik nuqtalarni topamiz:


, .
Demak, nuqta kritik nuqta. Boshqa kritik nuqtalar mavjud emas. Chunki hosila ning har qanday qiymatlarida mavjud.

3) nuqtaning atrofida hosilani ishorasini tekshiramiz.

da va da
bolum. Demak, berilgan funksiya nuqtada minimumga ega va bu minimum funksiyaning eng kichik qiymati bolgan tori tolganini toping.


Yechish: Biz tekshiradigan funksiya tori toladi. Bu funksiya koladi. Masalaning shartiga asosan yoki . Bundan ni orqali ifodasini aniqlaymiz va uni ga qolganligi uchun yoki bolishi ravshan. Shunday qilib, berilgan masala funksiyaning kesmadagi eng katta qiymatini topishga keltirildi. Uni aniqlaymiz:
1) Funksiya hosilasini aniqlaymiz: .

2) Kritik nuqtalarni topamiz: , .

3) kritik nuqtadagi funksiyaning qiymatini topamiz:



4) kesmaning chegaralarida funksiyaning qiymatlarini topamiz: , .
Demak, funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati


bogrtburchak tomoni dan iborat boladi.
6. musbat sonni ikkita qoshiluvchilarning kolsin.

Yechish: Qolsin: u holda ikkinchi qoladi. Bu qopaytmasi oladi. Agar biz uni bilan belgilasak, u ga teng boladi.

Birinchi qolib, ikkinchi qolsa, qopaytmasi eng katta boyicha tori chiziqli harakat qiladi, bunda yoladi?

Yechish: Jism harakatining tezligi yoyicha olingan hosilaga teng: Yang tomonida hosila ishorasini aniqlaymiz:


bolganda botishda ozgartirdi. Shuning uchun boladi va uning miqdori


bolgan usti ochiq cholishi uchun cholchamlari qanday bomilish havzasining hajmi

boladi. dagi ni orqali ifodalaymiz va uni ga qolgan bu funksiyani da ekstremumga tekshiramiz.



nuqtaning chap va oladi. Suv havzasining chuqurligi