Gorner sxemasi



Yüklə 63,54 Kb.
səhifə1/2
tarix20.04.2023
ölçüsü63,54 Kb.
#125709
  1   2
Gorner sxemasi


. Gorner sxemasi
Agar x=α son f(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, Bezu teorimasiga asosan f(x) ko’phadning x=α dagi qiymati r=f(α)=0 bo’lar edi. Qoldiqli bo’lish teoremasiga ko’ra f(x)= (x-α) (x)+r tengliklardagi (x) ning koefsentlarini va r qoldiq hadni hissoblashning bir usuli bilan tanishaylik.Buning uchun (x) va r ni nomalum koefsentlar yordamida quyidagicha yozib olamiz:
α0xn+ α1xn-1+…+ αn-1xn+ αn=( x-α)(A0xn-1+ A1xn-2+…+ An-2x+ An-1)+r.
tengliklarning o’ng tomonidagi qavslarni ochib , ikkita ko’phadning tengligi ta’rifiga asosan , quyidagilarga ega bo’lamiz:
α0= A0 , α1= A1- α A0 , α2= A2- α A1, … αk= Ak- α Ak-1 , … , αn-1= An-1- α An-2
αn=r- α An-1.
Bu tengliklardan Ai (i=0,n) larni va r ni quyidagicha aniqlaymiz :
A0= α0 , A1= α1+ α A0 , A2= α2+ α A1 , … , Ak= αk+ α Ak-1 , … , An-1= αn-1+ α An-2 ,
r= αn+ α An-1 .
bu hisoblashlarni quyidagi Gorner sxemasi deb ataluvchi sxema yordamida ham bajarish mumkin :




α0

α1

α2



αk



αn-1

αn

α

A0

A1

A2



Ak



An-1

R

Har bir Ak koefsentini topish uchun sxemada uning yuqorisidagi αk va Ak dan oldin turgan Ak-1 ni α ga ko’paytirib qo’shish kerak.Agar (x) ko’phadni yana biror x-β ikkihadga bolish talab etilsa ,bu sxemani pastga qarab davom ettirish mumkin .Umuman olganda , ko’phadningning karrali ildizlarini topishda ham shu usuldan foydalaniladi.


1-misol . x3+4x2-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib , x-1 ga bo`lishni bajaramiz .




1

4

-3

5

1

1

5

2

7

Demak, x3+4x2-3x+5 =(x-1)(x2+5x+2)+7.


Bezu teoremasidan P(x) ko`pxadni αx+b ko`rinishidagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq p ga teng bo`lishi kelib chiqadi .
2-misol . P3(x)=x3-3x2+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping .
Y e c h i s h . Qoldiq r=P3 ga teng .
3-misol. X5-7x4+12x3+16x2-64x+48 ko’phad uchun x=2 necha karrali ildiz ekanligini aniqlang.
Yechish: Bu misol uchun ham yuqoridagi kabi quyidagi sxemani tuzamiz :




1

-7

12

16

-64

48

2

1

-5

2

20

-24

0

2

1

-3

-4

12

0




2

1

-1

-6

0







2

1

1

-4










Demak ,x=2 uch karrali ildiz bo’lib , berilgan ko’phadni


X5-7x4+12x3+16x2-64x+48 =(x-2)3(x2-x-6)
Shaklda yozish mumkin .Bu yerda x2-x-6=(x-2)*(x+1)-4.


4-misol. P(x)=x3-3x2mx+n ko’phad (x+2)2 ga qoldiqsiz bo’linsa n=? toping.
Yechish p(x)=(x+2)2 φ(x) , x=-2 ko’phadning ikki karrali ildizi desak Gorner sxemasini tuzamiz:




1

-3

m

n

-2

1

-5

10+m

-20-2m+n

-2

1

-7

24-m







Javob: n=68
5-misol. P(x)=ax3+bx2+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=?
Yechish: Gorner sxemasidan foydalanamiz .




a

b

c

d

1

a

a+b

a+b+c

a+b+c+d

1

a

2a+b

3a+2b+c





d=2a+b
Javob: d=2a+b


6. Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi.
K birlik elementga ega bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin .
6.1-Ta’rif. Agar K Butunlik sohasini biror αelementi uchun f(α)=0 tenglik bajarilsa , u holda α element f(x) ko`phadning ildizi deyiladi .
Q maydon ustida bir nomalumli birinchi darajali f(x) = αx+b ko`phad α 0 bo`lganda ratsional sonlar to`plamida doimo ildizga ega , chunki f(- ) = -b+b=0 , yani f(- )=0 bo`ladi .
Darajasi n≥1 bo`lgan har qanday ko`phad ildizilarga ega bo`lgan kengaytama maydon doimo mavjud bo`ladi(Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra) .
Nolinchi darajali f(x)= α 0 ko`phadni ildizi yo`q , chunki x ga qanday qiymatni bermaylik , baribir (x)= α 0 bo`ladi . biz nol ko`phadni etiborga olmaymiz , bunday ko`phad x ning har bir qiymatida nolga teng .
1-Teorema . f(x) ko`phadni x- α ikkihadga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng .
Isboti. Bo`luvchi x- α ning darajasi 1 ga teng bo`lgani uchun qoldiq r(x) yo nolinchi darajali ko`phad , yoki nol bo`lishi kerak , yani
f(x)=(x- α)h(x)+r (6.1)
bo`lib , bu tenglikda x= α desak , f(α) =r ni hosil qilamiz .
2-Teorema x= α element f(x) ko`phadning ildizi bo`lishi uchun f(x) ning x- α ikkihadga bo`linishi zarur va yetarli .
Isboti. Zaruriyligi . x= α ni f(x) ning ildizi deylik . bu holda f(α)=0 bo`ladi. 1-Teoremaga asosan f(x) ni x- α ga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng . lekin f(α) =0 bo`lgani uchun r=0 dir demak , f(x) ko`phad x- α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
2.Yetarliligi . f(x) ko`phad x- α ga qoldiqsiz bo`linsin :
f(x)=(x- α)h(x) , yani qoldiq r=0 bo`lsin . 1-Teoremaga ko`ra f(α) =r . bunda r=0 bo`lgani uchun f(α)=0 . Demak x= α qiymat f(x) ko`phadning ildizi ekan .
Ta’rif. Agar f(x) ko’phad α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X5+x4+x3-x2-x-1 ko’phad uchun (x) =x2+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x2+x+1) 2 ga bo’linadi .Lekin (x2+x+1)3 ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)3 (x-1)2 bo’ladi.
F(x)= x4+2x3+2x2 +3x-2
uchun (x)= x3+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x3+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x2-4)4(2x3+x-1)3 (x+1)(x4-3x3+1)5
Ko’phad uchun 1(x) =x2-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , 2(x) =2x3+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , 3(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va 4(x) =x4-3x3+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.
Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=pα(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:

Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,

Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.

Yüklə 63,54 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin