Les Systèmes du 2nd ordre



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Les Systèmes du 2e ordre



I.Définitions

Tout système d’ordre deux est régi par une équation différentielle de la forme :





II.Fonction de transfert

Comme toute fonction de transfert on la calcule à partir de la TL (conditions initiales nulles)



=>
On obtient alors la fonction de transfert :

Cette fonction peut s’écrire sous d’autres formes :



ou

A partir de cette fonction de transfert nous pouvons déterminer les pôles du système. Pour cela rendez-vous à la page pôles.



III.Les différents types de réponse des systèmes du second ordre

a) Système apériodique :

Si nous utilisons cette condition, sont les pôles du système. Les pôles sont réels.

Le système sera stable si et seulement si les pôles du système sont négatifs. Or si nous regardons notre condition de départ, nous sommes sûr que les pôles sont négatifs.

Factorisons la fonction de transfert a l’aide de . Nous obtenons :


Nous pouvons nous rendre compte que ce système peut ce mettre sous la forme de deux systèmes du premier ordre avec pour constantes de temps : et

Nous pouvons décomposer en éléments simples la fonction de transfert :



Avec et

Repassons maintenant en temporel pour tracer la réponse indicielle.

La transformé de Laplace inverse nous donne le résultat suivant :






  • La réponse indicielle est donc (comportement périodique) :



b) Système oscillatoire :

Intéressons nous maintenant au cas inverse, c’est à dire lorsque le système a un comportement oscillatoire.

Les pôles du système deviennent alors :. Les pôles sont complexes et conjugués.

Comme tout bon automaticien nous savons que le système sera stable si et seulement si les pôles sont a partie réelle négative. Pour cela il faut 0 < x < 1.

Du même raisonnement que précédemment nous déduisons la réponse temporelle :




  • Nous traçons donc la réponse suivante :




  • Quelques caractéristiques de cette réponse :




    • Réponse oscillatoire amortie de pulsation

    • Pseudo période des oscillations

    • Temps de pic

    • Dépassement (D) :

Valeur de la sortie en régime permanent



Valeur de pic de la réponse indicielle

  • Temps de réponse à n%

C’est le temps au bout du quel la réponse indicielle atteint n% de sa valeur finale



  • Influence du coefficient d’amortissement



  • Amortissement faible () : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que x est faible

  • Amortissement fort () : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible

  • Amortissement (souvent utilisé) :


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