V elektron ( g ’larin temsiLİ Öncesi )

V - ELEKTRON ( ’LARIN TEMSİLİ ÖNCESİ )

V.A ) DİRAC DENKLEMİ
SO (3,1) metriği G : ( + ) ile uyumlu bir Clifford cebirinin 4 soyut elemanı , özdeşliğini sağlarlar. ifadesi bunların yardımıyla

olarak lineer biçimde yazılır.

ifadesi biçimsel olarak bir Lorentz skalar çarpımını andırsa da bu benzerliğe kesinlik kazandırmadan önce “ _{}operatörleri bir

4-Vektör müdür ? ” , dolayısıyla “ Cebirsel bir 4-Vektörün mihenk taşı nedir ? ” soruları cevaplanmalıdır. Bu yapılana kadar  demekten kaçınmak gerekir. ifadesi Feynman Kesik Gösterimi kullanılarak kısaca olarak yazılacaktır. sağlandığı durumlarda olur; özel durumu, beklendiği gibi verir. Bu özdeşliğin bir parçacık durumu ket’ine etkisi : 2. mertebe Dirac denklemi olarak bilinir. Asıl Dirac denklemi bir anlamda bunun kare kökü olan denklemidir. Bu ifade, elektromagnetik etkileşmeler için ‘En Yalın Genelleştirme İlkesi’ kullanılarak biçimine dönüşür.

eşitliğinin soldan ile çarpımından elde edilen

denkleminden ve oluşundan hareketle , , , elde edilir.

V.B ) ANTİparçacıkların cebirsel Kökenİ
denklemi mc özdeğerine izin verse bile bu bir zorunluluk ifade etmez ve dolayısıyla + mc ve mc özdeğerlerinin çokkatlılıklarının saptanması gerekir.  operatörlerinin dörtlü çarpımı olarak tanımlanır ve bu operatörün sahip olduğu özellikler ; olarak özetlenebilir.

Bunlardan yararlanarak olduğu ispatlanır :

= .

Buradan  sonucuna ulaşılır. Böylelikle + mc ve m c ’nin çok katlılıklarının eşit olduğu anlaşılmaktadır. Eğer mc ’yi, yani parçacığın hareketsiz olduğu koordinat sisteminde negatif enerjiyi, antiparçacık olarak yorumlarsak, Dirac denkleminin bir parçacık  antiparçacık çifti tasvir ettiğini görürüz.

V.C ) SPİN’İN CEBİRSEL Kökenİ
, ,

SO (3,1) cebirinin temel özellikleridir. ve operatörleri beraberce 4-Vektörler ve Lorentz skalarları için mihenk taşı oluştururlar :

,

,

[ , Lorentz Skaları ] = 0 , [ , Lorentz Skaları ] = 0

Bunların cebirsel karşılıkları ve ’dan da benzer biçimde davranmaları beklenir. Bu cebirsel karşılıkları inşa etmenin en kolay yolu :

operatörlerinin bir cebirsel 4-Vektör oluşturduğunu varsayıp , tanımlarını yapmak ve sonuçların tutarlılığını kontrol etmektir. Clifford cebiri elemanları ve ikili çarpımlarının aşağıda sunulan komütasyon tablosu bu varsayım ve tanımları doğrulamaktadır.

[ , ]
			i	
			i	i
				

Bu tablo E (3,1) tablosuna benzemekle birlikte, SO (3,2) Grup’una ait farklı bir komütasyon tablosudur. tanımı

, olarak basitleşir.

Buradan da

bulunur. Böylece Dirac denkleminin bir

Spin ½ , parçacık - antiparçacık çiftini tasvir ettiği görülmektedir.

V.D ) EŞLENİK Dİrac Denklemİ

Hermitsel operatörlerin özketleri ve özbraları birbirlerinin hermitsel eşlenikleridir. gibi hermitsel olmayan operatörlerin özdeğer denklemlerinin eşlenikleri ise farklı şekilde elde edilir. denklemine ile benzerlik dönüşümü uygulayarak bulunur. özdeğer denkleminin hermitsel eşleniği

sağdan ile çarpılarak ve araya 1 yerleştirilerek biçimine ulaşılır.

tanımıyla elde edilen ‘Eşlenik Dirac Denklemi’ olarak adlandırılır.

V.E ) g _s = 2 ELDE EDİLMESİ
denklemi ‘En Yalın Genelleştirme İlkesi’ gereği tanımıyla biçiminde genelleşir. Soldan ile çarparak

denklemine, ifadesinin karesi alınarak da sonucuna ulaşılır.

Sağ taraftaki 4 terimin karesi aşağıdaki tablodaki toplam 16 terimi verir :

X

Yukarıdaki terimlerin toplamının,

verdiği görülür ve eşitliği kullanılarak sonucu elde edilir. Parçacığın zayıf alanlarda ve ‘yavaş’ hareket ederek e A << p << m c sağladığı özel durumlarda kare kök alınarak :
bulunur ve

sonucuna ulaşılır.

Sabit magnetik alan için : seçimiyle elde edilen

eşitliğinde

özdeşliği kullanılarak

bulunur.

denklemlerinin karşılaştırması elektron spin’i için Landé g -çarpanını g _s = 2 olarak verir ;

ve , g _L = 1 , g _s = 2 kullanılarak

, olarak ifade edilmektedir. Genelleştirilmiş açısal momentum için ise

olarak yazılır. Buradan da

ve sonuçları elde edilir.

 özdeşliği kullanılarak da

sonucuna ulaşılır.

V.F ) Ehrenfest Teoremİ Uygulamaları
Heisenberg hareket denkleminde kullanarak için





elde edilir.

için ise

olacaktır. , ,

özdeşlikleri ve tanımları kullanılarak

Lorentz kuvveti elde edilir.

V.G ) Dalga Denklemleri Arası İlişkiler
Kütleli :

			Telegraph
		DA		ROL
	Klein - Gordon				Schrödinger
		DY		ROL
	BI		po^2 – p^2 = m^2 c^2		BI
	2^nci Derece Dirac		CC		Pauli
		TU		ROL + DY
			Dirac

ROL : Relativistik Olmayan Limit , BI : Boyutsal İndirgeme

DA : Değişkenlerin Ayrıştırılması , DY : Doğrudan Yerleştirme

TU : Tekrarlı Uygulama , CC : Clifford Cebiri

Kütlesiz :

			po^2 – p^2 = 0
		CC		DY
	Weyl				Dalga
					DA
					Helmholtz
					k o = 0
			Poisson	Homojen Olmayan Terim Eklenerek	Laplace

PROBLEMLER
P.V.1 ) Kütlesiz bir parçacık için geçerli olan denkleminden hareketle :

1. 
   Mümkün olan en küçük boyutta cebirsel operatörler kullanarak
   

denklemini lineer biçime getirin,

b) Tüm özdeğerleri ve bunlara ait spinörleri bulun,

c) Spinörlerin ‘Ortonormallik’ ve ‘Tamamlık’ özelliklerini saptayın,

d) Bu problem için ‘Spin’ ve ‘Cebirsel İtme’ operatörlerini oluşturun,

e) Lineer bir tanımlanamayacağını gösterin,

f) ‘Sarmallık’ operatörünü h olarak tanımlayarak

sgn ( p_o ) =  h olduğunu gösterin. Böylece p _o > 0 sağlayan kütlesiz fermionlar negatif, p _o < 0 sağlayanlar ise pozitif sarmallığa sahip olacaktır.
P.V.2 ) Heisenberg hareket denklemini kullanarak ifadesini hesaplayın ve sonucunuzu sadeleştirin.
P.V.3 ) Bölüm sonundaki dalga denklemleri arasındaki ilişkileri ve geçişleri elde edin.
P.V.4 ) a) ifadesini hesaplayın ve bir vektör çarpım olarak ifade edin,

b) ifadesini hesaplayın ve bir vektör çarpım olarak ifade edin,

c) ifadesini hesaplayın.