§ masala yechishni birgalikda oʻrganamiz

Geometrik progressiya –Birinchi hadi noldan farqli, ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi avvalgi hadini nolga teng bo’lmagan bir xil songa ko’paytirilganiga teng bo’lgan sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya deyiladi.
yoki birinchi hadi noldan farqli bo‘lib, ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi o‘zidan oldingi hadni shu ketma-ketlik uchun o‘zgarmas va noldan farqli bo‘lgan biror 𝑞 songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan sonlar ketma-ketligi geometrik proqressiya deyiladi. Masalan,
1)1,3,9,…; 2)20,10,5,…ketma-ketliklari geometrik progressiya tashkil qiladi. Birinchi misolda 𝑞 = 3, ikkinchisida 𝑞 = 0,5. Geometrik progressiya tashkil qiluvchi sonlar uning hadlari deyiladi va umumiy ko‘rinishda
𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, … , 𝑏_𝑛−1, 𝑏_𝑛, …
yoziladi. Geometrik progressiyaning keying hadini hosil qilish uchun oldingi hadiga ko‘paytiriladigan son 𝑞 geometrik progressiya maxraji deyiladi.
Agar 𝑏₁ > 0 va 𝑞 > 1 bo‘lsa o‘suvchi, 𝑏₁ > 0 va 𝑞 ∈ (0; 1) bo‘lsa, progressiya kamayuvchi, agar 𝑏₁ < 0 va 𝑞 > 1 bo‘lsa kamayuchi, 𝑞 = 1 boʻlsa barcha hadlari oʻzaro teng boʻladi.
Agar 𝑞 < 0 bo‘lsa, progressiya ishorasi almashinuvchi bo‘ladi, |𝑞| < 1 bo‘lsa progressiya cheksiz kamayuvchi deyiladi.
Geometrik progressiyaning 𝑛-hadi 𝑏_𝑛 quyidagi formula yordamida topiladi:𝑏_𝑛 = 𝑏₁𝑞^𝑛−1. Geometrik progressiyaning xossalari.
1-xossa. Agar geometrik progressiyaning barcha hadlari musbat bo‘lsa

𝑏_𝑛 = √𝑏_𝑛−1𝑏_𝑛+1
2-xossa. Chekli geometric progressiyada boshidan va oxiridan teng uzoqlikda turgan hadlar ko‘paytmasi chekli hadlar ko‘paytmasiga teng
𝑏₁𝑏_𝑛 = 𝑏₂𝑏_𝑛−1 = 𝑏₃𝑏_𝑛−2 = ⋯ = 𝑏_𝑘𝑏_𝑛−𝑘+1
3-xossa. Geometrik progressiyaning dastlabki 𝑛 ta hadi yig‘indisi
𝑏₁ − 𝑏_𝑛𝑞 𝑏_𝑛𝑞 − 𝑏₁ 𝑏₁(𝑞^𝑛 − 1)
𝑆_𝑛 = , 𝑆_𝑛 = , 𝑆_𝑛 = 𝑞 ≠ 1
1 − 𝑞 𝑞 − 1 𝑞 − 1
4-xossa. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya barcha
hadlar yig‘indisi
𝑏₁
𝑆 =
1 − 𝑞
Geometrik progressiya asosiy xossalarini jamlab quyidagi ko‘rinishga keltirilamiz.

1. 
   𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞𝑛−1, 𝑏𝑛 = 𝑞𝑏𝑛−1
   
2. 
   𝑏𝑛: 𝑏𝑚 = 𝑞𝑛−𝑚
   
3. 
   𝑏𝑛2 = 𝑏𝑛−1𝑏𝑛+1, 𝑛 ≥ 2
   
4. 
   𝑏_𝑘𝑏_𝑚 = 𝑏_𝑝𝑏_𝑞, 𝑘 + 𝑚 = 𝑝 + 𝑞
   

𝑏1(𝑞𝑛−1)

5. 
   𝑆𝑛 = 1−𝑞 , 𝑆𝑛 = 𝑞−1 , 𝑆𝑛 = 𝑞−1 (𝑞 ≠ 1)
   
6. 
   𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 𝑏𝑛
   
7. 
   𝑆 = ^𝑏1 , |𝑞| < 1
   

1−𝑞