1-мавзу. Arifmetikaga oid qiziqarli masalalar tizimi. Matnli masalalarni yechishning arifmetik usuli

Toq darajali uchlar sonining juft-toqligi .
Darajasi toq son boʻlgan uch toq uch, darajasi juft son boʻlgan uch juft uch deyiladi. 2-rasmdagi grafda faqat va uchlar toq uchlar, qolgan uchlar esa juft uchlar boʻladi.

3- masala.

1. 
   Firmada 50 ta kompyuter oʻrnatilgan. Ulardan ayrimlari sim bilan tutashtirilgan boʻlishi kerak. Har bir kompyuterdan 8 ta sim chiqishi lozim boʻlsa, jami nechta sim kerak?
   
2. 
   Grafda 40 ta uch, har birining darajasi 7 ga teng. Grafning qirralari nechta?
   
3. 
   Kontsertda har bir ashulani birgalikda ikkita san’atkor ijro etdi, bunda hech qanday juftlik sahnaga birgalikda bir martadan koʻ chiqmagan. Jami boʻlib kontsertda 12 nafar san’atkor ishtirok etdi, bunda har biri 5 marta ashula kuyladi. Jami nechta ashula ijro etildi?
   

Yechilishi.
Javob: 200 ta sim; 140 ta qirra 30 ta ashula

1. 
   Simning ikkita uchi bor. Har bir kompyuterdan 8 ta sim chiqqan. Demak, jami 50 8 400 ta uch va ta sim kerak.
   
2. 
   Fikrimizda har bir qirrani sim deb, har bir uchni esa kompyuter deb faraz qilaylik. Bunda grafning qirralari soni ga teng.
   
3. 
   Birga ijro etgan ikki nafar san’atkorni qirra bilan tutashtiramiz. Har birining darajasi 5 ga teng boʻlgan 12 ta uchli graf hosil boʻladi. Bunda har bir qirra bitta ashulaga mos. Oldingilarga koʻra grafning qirralari soni ga teng, ya’ni jami 30 ta ashula ijro etildi.
   

Yuqoridagi masalaga oʻxshab mulohaza yuritsak quyidagi teoremani hosil qilamiz:

1-Teorema . Grafning darajalari yigʻindisi qirralar sonining ikkalanganiga teng.
Yechilishi. Grafda ta uch, har birining darajasi, ya’ni har biridan chiqqan qirralar soni boʻlsin. Har bir qirra ikkita uchni tutashtirgani uchun grafning qirralari soni ga teng.
Natija. Grafdagi uchlar darajalari yigʻindisi juft boʻladi.


4- masala. Grafning uchlari quyidagi darajalarga ega boʻlishi mumkinmi: 
a) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; 
b) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1; 
c) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2?
Yechilishi.
a) 8 ta uchi bor grafda 8 darajali uch mavjud boʻlishi mumkin emas.
b) Agar har bir uch bilan tutashgan ikkita uch mavjud boʻlsa, u holda qolgan uchlarning har biri darajasi 2 dan kichik boʻla olmaydi.
c) Uchlarning darajalari yigʻindisi juft boʻlishi kerak.
5-masala. Mahallaga 13 ta telefon oʻrnatilmoqda. Har bir telefon aynan 7 ta telefon bilan sim orqali ulanishi mumkinmi?
Yechilishi.
Mos boʻlgan grafda 13 ta uchun boʻlib, ulardan har biri darajasi 7 ga teng. Shu grafning darajalari yigʻindisi toq songa teng. 2-teoremaning natijasiga koʻra bunday holat boʻlishi mumkin emas.


6-masala. Mamlakatning har bir shahridan aynan 3 ta yoʻl chiqmoqda. Mamlakatda jami boʻlib 100 ta yoʻl boʻlishi mumkinmi?
Yechilishi.
Mamlakatda k ta shahar boʻlsa, u holda jami ta yoʻl bor. Bu ifoda esa hech qanday k uchun 100 ga teng boʻlmaydi.


2-teorema. Ixtiyoriy grafda toq uchlar soni juft son boʻladi.
Yechilishi. Teskarisini faraz qilaylik. Qandaydir grafda toq uchlar soni toq boʻlsin. U holda shu grafning darajalari yigʻindisi toq boʻlishi shart. Bu esa oldingi teoremaning natijasiga zid. Demak, farazimiz notugʻri, ya’ni ixtiyoriy grafda toq uchlar soni juft boʻladi.

Bu teorema graf uchlari darajalarining yigʻindisini hisoblamaslikka imkon beradi.

7-masala. Yer sayyorasida yashagan va toq marta qoʻl berib soʻrashgan insonlar soni juft ekanligini isbotlang.
Yechilishi. Har bir insonni graf uchi deb faraz qilaylik. Agar u boshqa inson bilan qoʻl berib surashsa, shu ikki insonni qirra bilan tutashtiramiz. 2-teoremaga koʻra toq uchlar, ya’ni toq marta qoʻl berib soʻrashgan insonlar soni juft boʻladi.
Izoh. Bu masala 2-teoremaning oʻzginasi, faqat u boshqa tilda ifodalangan. Shuning uchun 2-teorema matematikada “Qoʻl berib soʻrashishlar haqidagi teorema” degan nom bilan mashhur.
8-masala. Sinfda 30 nafar oʻquvchi oʻqiydi. Shulardan 9 nafari 3 tadan, , 11 nafari - 4 tadan, 10 nafari esa 5 tadan doʻstga ega boʻlishi mumkinmi?
Yechilishi.
30 ta uchli grafni qaraymiz. Bu holda 9 ta uchining darajasi 3 ga, 11 ta uchining darajasi 4 ga, 10 ta uchining darajasi 5 ga teng boʻlishi kerak. Demak, toq uchlari soni ga teng. 19 – toq son boʻlgani uchun bu holat 2- teoremaga zid.


9-masala. Mittiboy Disneylend parkidan kelib, u yerdagi koʻlda 7 ta orol borligini hamda orollarning har biridan 1, 3 yoki 5 ta koʻprik chiqqanini aytdi. Shu koʻpriklardan kamida biri koʻlning tashqarisiga chiqqani rostmi?
Yechilishi. Ha, toʻgʻri. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni orollar koʻprik orqali bir-bir bilan tutshtirilgan boʻlib, hech qanday koʻprik koʻl tashqarisiga chiqmasin. Bu degani, hosil boʻlgan grafda faqat 7 ta uch boʻlib, ularning barchasining darajalari toq boʻladi (chunki 1,3 va 5 – toq sonlar). Bu esa 2-teoremaga zid.


10- masala. Tekislikda 9 ta kesma shunday chizilishi kerakki, ulardan har biri aynan 3 ta boshqa kesma bilan kesishsin. Bu ishni amalga oshirsa boʻladimi?
Yechilishi.
Mumkin emas. Har bir uchga kesmani mos qoʻyib, graf yasaymiz. Bunda agar ikkita kesma kesishsa, mos boʻlgan uchlarni qirra bilan tutashtiramiz. Natijada hosil boʻlgan grafda 9 ta toq uch boʻlib, bunday grafning mavjudligi 2-teoremaga zid.
11- masala. Sinfdagi 10 nafar oʻgʻil bolalardan har biri 8 nafar sinfdosh qizlarga bittadan gul sovgʻa qildi. Har bir qiz 5 tadan gul olgan boʻlsa, qizlar soni nechaga teng?
Yechilishi. Vaziyatga mos grafda qirralar sonini aniqlaylik. 10 nafar oʻgʻil bolalardan har biri 8 tadan gul sovgʻa qilgani uchun, jami 80 ta gul sovgʻa qilindi. Har bir qiz 5 tadan gul olgan, demak jami 16 nafar qiz boʻlgan.
12-masala. Sehrli mamlakatda Karabaslar va Barabaslar yashaydi. Har bir Karabas 6 ta Karabas va 9 ta Barabas bilan tanish. Har bir Barabas 10 ta Karabas va 7 ta Barabas bilan tanish. Mamlakatda kim koʻproq: Karabaslarlarmi yo Barabaslarmi?
Yechilishi.
Har bir Karabasni unga tanish boʻlgan Karabas va Barabas bilan qirra yordamida tutashtiramiz. U holda har bir Karabasdan 9 ta, har bir Barabasdan esa 10 ta qirra chiqadi. Demak, qirralar soni bir vaqtda Karabaslar sonidan 9 marta, Barabaslar sonidan esa 10 marta koʻproq. Demak, Karabaslar soni Barabaslar sonidan marta koʻproq boʻladi.

Topshiriq. 11- va 12- masalalarni graflar tiliga oʻgiring.