3-ma’ruza Funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik

Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir.
va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsa:
1) 2) ; 3) bo’lganda) lar ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) va orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
va funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funksiyalari bo’lsa, murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi. uzluksiz bo’lib, teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir.
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari
Ta’rif. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funksiya nuqtada uzilishga ega deyiladi.
funksiya uchun , chekli limitlar mavjud bo’lsa, chap va o’ng limitlar hamda sonlar o’zaro teng bo’lmasa, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Xususan, bo’lsa bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi.
1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari deyiladi. Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi.
1-misol. funksiya nuqtada 1-tur uzilishga ega ekanligini isbotlang.
Yechish. funksiya nuqtada aniqlanmagan. Absolyut qiymat ta’rifidan yoki va yoki bњlganda mos ravishda

bo’ladi.
Demak, , .
Shunday qilib, nuqta 1-tur uzilish nuqtasi bo’ladi. Bu uzilish nuqtasi bartaraf qilib (yo’qotib) bo’lmaydigan uzilish nuqtasiga kiradi.
2-misol. , funksiya nuqtada aniqlanmagan,
lekin hamma nuqtalarda aniqlangan.
Bir tomonli limitlar o’zaro teng, ya’ni .
Shunday qilib, berilgan funksiya uchun nuqta bartaraf qilinadigan (yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi bo’ladi.
3-misol. funksiyaning nuqtada uzilishga ega ekanligini ko’rsating:
Yechish. Berilgan funksiya nuqtadan boshqa hamma nuqtalarda aniqlangan. bo’lganda va bo’lganda ham .
va .
Bu 2-tur uzilishdir .
O’z-ozini tekshirish savollari
1. Funksiyaning limiti deb nimaga aytiladi va u qanday yoziladi?
2. Ikkita funksiya nisbatining limiti nimaga teng?
3. Birinchi ajoyib limit deb nimaga aytiladi?
4. Ikkinchi ajoyib limit nimaga teng?
5. Aniqmasliklarni ochish nimadan iborat?
6. Qanday jarayon uzluksiz bo’ladi?
7. Qanday funksiya uzluksiz deyiladi?
8. Kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyalar qanday xossalarga ega?
9. Qanday funksiyaga uzilishga ega deyiladi?