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1.2 : Le langage de description des équations

Le langage de description de modèle de NEPTUNIX permet l'expression directe des systèmes décrits par f(x, x', p, l, T) = 0 (x vecteur des variables continues, p vecteur des paramètres, l vecteur des variables événementielles, T variable indépendante) [2].

T, variable indépendante est le plus souvent le temps, surtout dans un problème en régime dynamique. On formalise une dérivée seconde, z, d’une variable x, par la dérivée de la dérivée première, et ainsi de suite : par exemple :

0 = - x’ + y

0 = - y’ + z
L'algorithme numérique utilisé par NEPTUNIX est un schéma de GEAR modifié, à ordre et pas variables, qui permet la gestion des discontinuités et l’interaction des parties continues et événementielles. Cet algorithme est adapté aux systèmes à fortes discontinuités.
Cet algorithme est un prédicteur correcteur dont le correcteur est un NEWTON-RAPHSON. L'algorithme de NEWTON-RAPHSON nécessite à chaque itération le calcul de la matrice JACOBIENNE, J=df(i)/dx(j)) ainsi que la résolution du système linéaire : J*delta=-f(x,x',p,l,T).
Les équations des modèles sont en général des équations avec peu de variables, la matrice JACOBIENNE est donc une matrice « creuse » (très peu d'éléments non nuls). Il est intéressant pour les optimisations de profiter de cette caractéristique. Les méthodes de résolution linéaire se divisent en méthodes directes et méthodes itératives. NEPTUNIX utilise une méthode directe appelée méthode de CROUT (décomposition LU par colonne) qui est une variante de la méthode de GAUSS intéressante pour les matrices creuses.
NEPTUNIX utilise le calcul formel pour la génération automatique du code de calcul de la JACOBIENNE (dérivation formelle) ainsi que le code de calcul de sa décomposition LU et la résolution du système linéaire. Si la première tâche est assez facile, la seconde est beaucoup plus difficile car la problématique des méthodes directes revient à choisir à chaque étape l'élément pivot. Il faut aussi tenir compte des propriétés creuses de la matrice pour éviter le remplissage de celle-ci. Le défi ici est de faire ce choix de manière formelle tout en garantissant la stabilité numérique ainsi qu'un temps de calcul réduit. Les approches purement numériques de ce problème peuvent engendrer des instabilités.
NEPTUNIX utilise aussi le calcul formel pour générer un code de calcul des conditions initiales du système, point dur de la formulation implicite par manque de convergence globale de l'algorithme de NEWTON-RAPHSON. Les valeurs initiales des degrés de liberté sont propagées dans les équations algébriques. On calcule de proche en proche les valeurs des variables décrites par des équations algébriques.
La problématique posée par l'ensemble de ces fonctionnalités est de disposer d'un moteur de calcul formel performant pour pouvoir traiter des problèmes de plusieurs milliers d'équations ainsi que des algorithmes pertinents. NEPTUNIX utilise un algorithme d'explicitation des équations (couplage heuristique maximal dans un graphe bi réparti). Ce mariage des équations et des variables permet tout à la fois de résoudre formellement le modèle et de décomposer la matrice JACOBIENNE. S’il reste des couples célibataires, le logiciel utilise un critère de MARKOWITZ généralisé avec politique de pivot total pour le choix des pivots restants de la décomposition LU.
Les caractéristiques intrinsèques du solveur NEPTUNIX permettent au développeur de se consacrer à l’écriture des équations, puis à l’analyse des résultats obtenus, et de confier au logiciel la résolution numérique du système d’équations.
En règle générale, l’écriture, en format texte, se fait de manière très naturelle.
Après une série de déclarations, le système d’équations est décrit, ainsi que les conditions aux limites (dans un formalisme identique). Il est possible de forcer les pivots au niveau de chacune des équations. Il ne reste plus qu’à définir le pas de temps, les conditions de convergence, et la simulation peut être lancée.
Le post-traitement des tableaux de résultats est ensuite possible, sous la forme de courbes représentant l’évolution temporelle de variables sélectionnées. Les calculs de bilan, par contre, doivent être intégrés comme des équations du système, et sont calculés pendant la résolution.
Les premiers travaux menés dès 1989 [C9] ont été la mise en équations, dans le formalisme du solveur choisi, des 3 principaux modes de transfert thermique, associé à un maillage adapté des volumes internes et des enveloppes faisant l’interface avec l’environnement. Enfin, le formalisme de ces systèmes d’équations est rigoureusement identique à celui décrivant le comportement des systèmes « climatiques » couplés à ces enceintes, et équipés de leurs propres lois de régulation et commande.
Ceci nous a permis de créer des simulateurs complets, en régime dynamique, du comportement en conditions réelles d’une enceinte habitée.