Analyse Numérique Problèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles

Analyse Numérique Problèmes Pratiques

• Résolution d'équations différentielles

Introduction

Principes généraux

• équation différentielle :

• avec t  I = [t0,T]

• idée générale :

• discrétiser t tn = t0 + nh avec h = (T-t0)/n = pas de la méthode
• trouver une suite itérative zn qui approche yn = y(tn)

Schémas à un pas 1/

• Forme générique :

• (tn,zn) calculé à partir de zn
• exemples : on peut partir de la propriété :
• calcul de l'intégrale I par :
• rectangle gauche I = hf(tn) schéma d'Euler simple
• rectangle droit I = hf(tn+1) schéma d'Euler rétrograde (zn+1 n'est plus donné directement, il faut résoudre le système)

Schémas à un pas 2/

• calcul de l'intégrale I par :
• trapèzes schéma d'Euler centré I = h[f(tn)+ hf(tn+1)]/2
• comment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ?
• on remplace le zn+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple : schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy

Schémas à un pas 3/

• les schémas de Runge-Kutta

• forme générique avec (t,z) défini par :
• un ordre q
• les équations suivantes :
• problème = trouver les meilleurs i ij i

Schémas à un pas 4/

• Runge-Kutta d'ordre 2

• 1=0 2=1 1= 11 =1/2 : schéma du point milieu
• 1=2=1/2 1= 11 =1 : schéma d'Euler-Cauchy

Schémas à un pas 4/

• Runge-Kutta d'ordre 4

• il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux)

Schémas multi-pas 1/

• les schémas d'Adams-Bashforth

• (tn,zn) calculé à partir de zn zn-1 ...
• On repart de la propriété :
• calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points tn à tn-q)

Schémas multi-pas 2/

• Adams-Bashforth à 2 pas

• pour n  1
• problème : il faut calculer z1 autrement … (avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta)

Schémas multi-pas 3/

• Adams-Bashforth à 3 pas

• pour n  2

• Adams-Bashforth à 4 pas

• pour n  3

Schémas multi-pas 4/

• les schémas d'Adams-Moulton

• calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1 (avec les points tn+1 à tn-q)
• méthode implicite : zn+1 va dépendre de f(tn+1,zn+1) (à cause du k=-1)

Schémas multi-pas 5/

• Adams-Moulton à 1 pas

• pour n  0 (Euler centré)

• Adams-Moulton à 2 pas

• pour n  1

• …

Schémas multi-pas 6/

• Comment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ?
• on remplace le zn+1 "génant" par son estimation par Adams-Bashford :
• Exemple : schéma prédicteur/correcteur d'ordre 4

Sujet de TD

Conclusion