Axborot texnologiyalar universiteti mustaqil ish

2-mavzu: Natural sonlar to’plamiga akslantirish prinsipi
To‘plamlar ustida amallar

Natural sonlar to’plamiga akslantirish prinsipi

To‘plamlar ustida amallar

Matematikada juda xilma-xil to‘plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar

to‘plami, tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. «To‘plam»so‘zining sinonimlari sifatida «ob’ektlar majmuasi» yoki «elementlar majmuasi» so‘z birikmalaridan foydalaniladi. To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz.
To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A,B,L, ularning elementlarini
esa kichik - a,b,L harflar bilan belgilaymiz. «a element A to‘plamga tegishli»
iborasi «a∈ A» shaklda yoziladi. «Aa∈/ » yozuv esa a element A to‘plamga
tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B
to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb
ataladi va A ⊂ B ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy
sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan
tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng to‘plamlar deyiladi va A = B shaklda
belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A
munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham
elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan,
x2 +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni
qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun
maxsus «bo‘sh to‘plam» nomi berilgan va uni belgalashda Ш simvoldan
foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va
har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning
bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar
deb ataladi.
2.1. To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar

berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan

iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisiyoki
birlashmasi deyiladi va C = AU B shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang).
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aa to‘plamlarning yig‘indisi ham
shunga o‘xshash aniqlanadi: Aa to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan
barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat a −a U A shaklda belgilanadi. Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi −IaAa deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi. 3. Algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, faktor-algebra. Ko’pgina hollarda diskret matematika va uning tatbiqlarida o’rganish ob’yekti sifatida to’plam bilan birga uning tuzilishi ham ahamiyatga ega bo`ladi. Ma’lumki, odatdagi arifmetika, geometriya ob’yektlari bilan sonli amallarni bog’laydigan chiziqli fazo hamda biror binar munosabat aniqlangan to’plamlar asosida maydon tushunchasi kiritiladi. Barcha bunday strukturalar algebraik sistemalarni tashkil etadi. Algebraik sistemalarning aniq ta’rifini keltiramiz.
Ta’rif 1. Bo’sh bo’lmagan A to’plamni qaraymiz. Bu to’plamda n-o’rinli f akslantirishni kiritamiz: f : An → A. f funksiya bo’lganligi sababli, ixtiyoriy
elementlar uchun f amalini qo’llash natijasi bir
qiymatli aniqlanadi. f amalining qiymatlar sohasi A to’plamga tegishli bo’lgani uchun f amalni A to’plamda yopiq amal deb ataymiz.
Ta’rif 2. Signatura yoki til ∑ deb o’rni ko’rsatilgan predikat va funksional simvollar to’plamiga aytiladi. 0-o’rinli funksional simvolga constanta deyiladi.
Agar α funksional yoki predikat simvoli bo’lsa, u holda uni o’rni µ(α) yordamida belgilanadi.
n-o’rinli predikat va funksional simvollarni mos ravishda Pn va f n orqali belgilaymiz. Agar qaralayotgan signaturada standart simvollar foydalanilayotgan bo’lsa, masalan: qo’shish amali uchun +, tartiblash munosabati uchun ≤, bo’lish amali uchun /, constant uchun 0 va shu kabilar, u holda biz quyidagicha yozamiz:
Ta’rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema U={A, ∑} deb bo’sh bo’lmagan A to’plamga aytiladi, bunda har bir n o’rinli predikat (funksional) simvolga A

to’plamda aniqlangan n-o’rinli predikat mos qo’yilgan. A to’plam {A, ∑} algebraik sistemaning tashuvchisi yoki universumi deb ataladi.