Azərbaycan respublikasi əlyazması hüququnda 2m

Şirmayıl Həsən oğlu Bağırov
Azərbaycan Respublikasının Prezidenti yanında Ali Attestasiya Komissiyasının Azərbaycan Milli Elmlər Akademiyasının Riyaziyyat və Mexanika İnstitutunun nəzdində fəaliyyət göstərən ED 1.04

dissertasiya şurası.

Dissertasiya şurasının sədri: AMEA-nın müxbir üzvü,

f-r.e.d., professor

_______________ Misir Cumail oğlu Mərdanov
Dissertasiya şurasının elmi katibi: f.r.e.n.

___________ Əbdürrəhim Fərman oğlu Quliyev

Elmi seminarın sədri: akademik, f.r.e.d., professor

______________ Yusif Əbülfət oğlu Məmmədov

İ ŞİN ÜMUMİ XARAKTERİSTİKASI
Mövzunun aktuallığı və işlənmə dərəcəsi: Dissertasiya işi cüt tərtibli adi diferensial operatorların doğurduğu məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sistemi üzrə spektral ayrılışların yığılmasının tədqiqinə həsr olunmuşdur.

Məlumdur ki, adi diferensial operatorların spektral nəzəriyyəsi öz başlanğıcını Ş.Şturm, J.Luivilli sonralar isə V.A.Steklov, D.Ya.Tamakin, D.Birkkof, M.L.Rəsulov və digər məşhur riyaziyyatçıların klassik işlərindən götürür.

Diferensial operatorların spektral nəzəriyyəsinin qurulma-sında aşağıdakı sualların araşdırılması mühüm rol oynayır: öyrənilən diferensial operatorun məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminin bu və ya digər fəzalarda bazisliyi; diferensial operatorun təyin oblastına daxil olan və olmayan funksiyaların spektral ayrılışının mütləq və müntəzəm yığılması; bu və ya digər fəzalardan olan funksiyaların diferensial operatorun məxsusi və qoşulmuş funksiyaları üzrə spektral ayrılışının həmin funksiyanın triqono-metrik Furye sırası ilə birgəyığılması (eyniyığılması) və s.

Uzun müddət ərzində əsas araşdırma obyekti öz-özünə qoşma diferensial operatorların spektral xassələrinin öyrənilməsi olmuşdur. Buna baxmayaraq iyirminci əsrin birinci yarısından başlayaraq riyazi fizikanın bir sıra yeni məsələlərinin yaranması, öz-özünə qoşma olmayan diferensial operatorların spektral xassələrinin öyrənilməsinə təkan vermişdir. Belə məsələyə nümunə istilikeçirmə tənliyi üçün qeyi-lokal sərhəd şərtli Bitsadze-Samarski məsələsi ola bilər.

Öz-özünə qoşma olmayan sərhəd məsələlərinin öyrənilməsin-də aşkar olunmuşdur ki, belə operatorların məxsusi funksiyalar sistemi, ümumiyyətlə desək, nəinki də bazis təşkil etmir, həm də sinfində tam olmaya da bilər. Ona görə də belə sistemlər qoşulmuş funksiyalarla tamamlanmalıdır. Bu məsələlərdə məxsusi və qoşulmuş funksiyalar (kök funksiyalar) sistemi, ümumiyyətlə desək, fəzasında ortoqonal deyil, nə onun qapalılığı, nə də minimallılığı bu fəzada onun bazisliyini təmin etmir. Beləliklə, öz-özünə qoşma olmayan məsələlərin tədqiqi yeni yanaşmalar tələb edir.

Bu istiqamətdə M.V.Keldiş tərəfindən geniş sinif sərhəd məsələləri üçün xüsusi qurulmuş məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminin də tamlığı isbat edilmişdir. Geniş sinif sərhəd məsələləri üçün tamlıq məsələsinin öyrənilməsi bir çox riyaziyyatçılar tərəfindən davam etdirilmişdir. Güclü requlyar sərhəd məsələlərinin məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminin də bazisliyi V.P.Mixaylov və Q.M.Keselman tərəfindən göstərilmişdir. Requlyar məsələlərinin məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminin blok bazisliyi (və ya mörtərizəli bazisliyi) A.A.Şkalikovun işində göstərilmişdir.

Əmsalları kifayət qədər hamar, requlyar sərhəd şərtli adi diferensial operatorlar üçün müntəzəm birgəyığılma məsələləri üçün ilk mühüm nəticələr D.Ya.Tamarkin tərəfindən alınmışdır. Sonralar analoji nəticə cəmlənən əmsallı diferensial operatorlar üçün M.Stoun tərəfindən alınmışdır. A.P.Xromov D.Ya.Tamarkinin birgəyığılma teoremini nüvəsi requlyar sərhəd şərtli diferensial operatorun Qrin funksiyasının xassələrini cəmləşdirən inteqral operatorlar halına ümumiləşdirmişdir.

Yuxarıda sadalanan nəticələrin əsasında rezolvent metod dayanır və bu işlərdə alınmış birgəyığılma blok^__birgəyığılmadır (mörtərizəli birgəyığılma).

Diferensial operatorların spektral xassələrinin öyrənilməsində digər bir metod akademik V.A.İlin tərəfindən təklif edilmişdir. İlin tərəfindən aydınlaşdırılmışdır ki, qoşulmuş funksiyaların ümumi sayı sonsuz olduqda məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminin tamlıq xassəsindən fərqli olaraq bazislik və birgəyığılma (eyniyığılma) xassələri qoşulmuş funksiyaların seçilməsindən ciddi asılıdır və təkcə sərhəd şərtinin xüsusi forması ilə təyin olunmur. Bu xassələrə diferensial operatorun əmsallarının qiymətləri ciddi təsir edir, yəni, əmsalları öz sinfində saxlamaqla kiçik dəyişməsi bu xassənin yaranmasına və ya itməsinə səbəb ola bilər. Bu vəziyətdə bazislik və birgəyığılma (eyniyığılma) şərtləri sərhəd şərtləri termini ilə ifadə edilə bilməz. Bu səbəbdən də V.A.İlin diferensial operatorun məxsusi və qoşulmuş funksiyalarını konkret sərhəd şərtləri ilə bağlamadan spektral parametrli diferensial tənliyin requlyar həlli kimi təyin etməyi təklif etmişdir. Bu yanaşma ixtiyari sərhəd şərtlərinə (həm lokal, həm də qeyri-lokal), heç bir sərhəd şərti ilə bağlı olmayan funksiyalar sisteminə, həm də iki müxtəlif sərhəd məsələsinin məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sistemlərinin alt çoxluqlarının birləşməsindən alınan sistemlərə baxmağa imkan verir.

V.A.İlinin işlərində adi diferensial operatorun məxsusi və qoşulmuş funksiyalar sisteminə baxılmış və müəyyən təbii şərtlər daxilində müntəzəm birgəyığılma (eyniyığılma) və kompaktda bazislik teoremləri isbat edilmişdir.

Bu tədqiqatlar V.A.İlin və onun davamçılarının işlərində müxtəlif istiqamətlərdə inkişaf etdirilmişdir: V.V.Tixomirov, Ş.A.Alimov, İ.Yo, İ.S.Lomov, N.B.Kərimov, V.D.Budayev, V.İ.Kamornik, N.Lajetic, V.M.Qurbanov, L.V.Kriçkovun və digərlərinin işlərində bu məsələlər geniş tədqiq olunmuşdur. Son dövrlər yığılma və birgəyığılma (eyniyığılma) sürətlərinin müxtəlif xarakteritikalardan asılılığı intensiv olaraq araşdırılır və bu istiqamətdə V.M.Qurbanov və A.T.Qarayeva, V.M.Qurbanov və R.A.Səfərov, İ.S.Lomov, A.S.Markovun tədqiqatlarında əhəmiyyətli nəticələr alınmışdır. Bu məsələlər ikinci və üçüncü tərtib diferensial operatorlar üçün V.M.Qurbanov və A.T.Qarayeva, İ.S.Lomov, E.B.Axundovanın işlərində ətraflı araşdırılmışdır.

Beləliklə, yüksəktərtib diferensial operatorlar üçün bu və ya digər sualların V.A.İlin metodu ilə araşdırılması riyazi maraq kəsb edir.