Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ
Yüklə 190,39 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Kummer əlaməti. İndi isə konkret olaraq Kummer (E.E.Kummer) əlaməti anlayışını verək. Sonralar biz bu əlamətə ümumi sxem kimi baxacağıq. Kummer əlaməti.
| İsbatı. >0, n0 , n>n0 var ki, 0 . Alırıq ki, an< bn (1) doğrudur. Onda teoremin hökmü müsbət sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən çıxır.
3). = + ∞. an sırası yığılarsa bn sırası da yığılar, bn sırası dağılarsa an sırası da dağılar. İsbatı. Limitin tərifinə görə n0 var ki, M>0, n>n0, >M. Buradan da alınır ki, an>M bn doğrudur. Onda teoremin hökmü müsbət sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən çıxır. Teorem 3. Tutaq ki, bizə iki müsbət hədli sıra verilmişdir. n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A) n = b1 +b2 + b3 + ... + bn + ... (B) Belə ki, aşağıdakı bərabərsizlik doğrudur. (1) Əgər (B) sıra yığılarsa onda (A) sırası da yığılır. Əgər (A) sırası dağılandırsa onda (B) sırası da dağılandır. İsbatı. (1) bərabərsizliyindən alınır ki, ... , Bu bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə vursaq onda alarıq. → an bn. Buradan isə müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremdən isbat aydın gürünür. Kummer əlaməti. İndi isə konkret olaraq Kummer (E.E.Kummer) əlaməti anlayışını verək. Sonralar biz bu əlamətə ümumi sxem kimi baxacağıq. Kummer əlaməti. Tutaq ki, bizə müsbət hədli n = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (A) sırası və müsbət hədli c1, c2, c3, ... ,cn, ... ardıcıllığı verilmişdir. Belə ki, aşağıdakı sıra dağılandır. Qeyd edək ki, biz burada ancaq dağılma əlamətindən danışacağıq. Yığılma əlamətinin izahına isə ehtiyac yoxdur. (A) sırasını aşağıdakı variantda düzəldək. Kn = cn - cn+1 Əgər >0 və üçün Kn şərti ödənərsə onda sıra yığılandır. Əgər >0 və Kn şərti ödənərsə onda sıra dağılandır. İsbatı. Tutaq ki, Kn = cn - cn+1 (1) Onda bu bərabərsizlik bütün n-lər üçün doğru olar. (1) bərabərsizliyinin hər iki tərəfini an+1 -ə vursaq onda alarıq. cnan – cn+1an+1 an+1 (2) Onda
cnan – cn+1an+1>0 və ya cnan> cn+1an+1 (3)
Buradan alınır ki, cnan monoton azalır və sonlu limiti var. (Belə ki, o, aşağıdan sıfır ilə məhduddur.) Beləliklə cnan – cn+1an+1 ) sırası da yığılandır.Və onun birinci n həddinin cəmi c1a1 - cn+1an+1 –in sonlu limiti var. Onda (3) bərabərsizliyindən istifadə edib müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 1-ci teoremə əsaslansaq isbat aydın olar. yəni an+1 sırası yığılır, onda (A) sırası da yığılandır. Əgər n>N üçün Kn = cn - cn+1 (4) şərti ödənərsə onda aşağıdakı bərabərsizlik doğru olar. cn (5) Onda (5) bərabərsizliyindən istifadə edib müsbət hədli sıraların müqayisəsi haqqında 3-cü teoremə əsaslansaq deyə bilərik ki, sırası dağılandır. Bu isə (A) sırasının dağılan olması deməkdir. Teorem isbat olundu. Yüklə 190,39 Kb. Dostları ilə paylaş:
|