Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ

Sınaq üsulu.

Tutaq ki, [a,b] parçası

ƒ(x)=0 (1)

tənliyinin həqiqi x_o kökünü təkləmişdir. Müəyyənlik üçün ƒ(a)<0 və ƒ(b)>0 olduğunu qəbul edək. Bu halda x_o kökünü təkləyən [a,b] parçasını, uzunluğu daha kiçik olan və həmin kökü təkləyən yeni [a₁,b₁] parçası ilə aşağıdakı sınaq üsulu ilə əvəz etmək olar : [a,b] parçasında yerləşən ixtiyari c qiyməti götürülür. Əgər [a,c] parçasının uc nöqtələrində ƒ(a)ƒ(c)<0 şərti ödənilirsə, onda [a₁,b₁] parçası olaraq [a,c] parçası götürülür. Əks halda isə [a₁,b₁] olaraq [c,b] parçası götürülür.

Bu prosesi [a₁,b₁] parçasında yeni ixtiyari d qiyməti götürməklə davam etdirmək olar. Beləliklə, x_o kökünü ayıran və daha kiçik uzunluğu olan [a₂,b₂] parçasını alarıq. İstənilən dəqiqlik alınana qədər bu prosesi davam etdirmək mümkündür.

Bəzən c nöqtəsi olaraq [a,b] parçasının c₁ = orta nöqtəsini, d olaraq [a₁,b₁] parçasının c₂ = orta nöqtəsini və s. götürürlər.

Beləliklə, ardıcıl yarıyabölmə prosesində ya parçaların birinin orta nöqtəsi x_o kökü ilə üst-üstə düşür (Bu halda proses dayanır), ya da x_o kökünü təkləyən və hər biri özündən əvvəlkinin daxilində yerləşən

[a₁,b₁], [a₂,b₂], ..., [a_n,b_n], ... (2)

parçalar ardıcıllığı alınır. Burada

ƒ(a_n)<0, ƒ(b_n)>0 və [a_n,b_n] =

Yığılan parçalar prinsipinə görə (2) ardıcıllığı yeganə bir nöqtəsinə yığılar:

= = (3)

Göstərək ki, nöqtəsini (1) tənliyinin x_o kökü ilə üst-üstə düşür. Bu məqsədlə fərz edək ki, y=ƒ(x) funksiyası [a,b] parçasında kəsilməyəndir. Onda ƒ(a_n)<0 və ƒ(b_n)>0 bərabərsizliklərində limitə keçsək

ƒ( )= ƒ(a_n) 0, ƒ( )= ƒ(b_n) 0

olar. Bu iki bərabərsizliklərdən ƒ( )=0, yəni =x_o alınır.

Apardığımız mühakimə (1) tənliyinin axtarılan həqiqi x_o kökünü tapmaq üçün alqoritm müəyyən edir. Bu x_o kökünün təqribi qiyməti olaraq [a_n,b_n] parçasının c_n= orta nöqtəsini götürmək olar.

(1) tənliyinin [a,b] parçasında yerləşən dəqiq x_o kökünün təqribi qiyməti olaraq ixtiyari ədədi götürüldükdə buraxılan xəta üçün

(4)

bərabərsizlikləri ilə alınır (x_o –ın qiyməti məlum olmadığı üçün c- x_o fərqini hesablamaq mümkün deyildir). Buradan, x_o c təqribi bərabərliyinin mütləq xətasının

(5)

olması aydındır. Əgər x_o kökünün təqribi qiyməti olaraq [a,b] parçasının orta nöqtəsi götürülərsə, onda mütləq xəta :

x_o kökünün təqribi qiyməti olaraq [a_n,b_n] parçasının orta nöqtəsi götürüldükdə isə mütləq xəta :

(6)

olar. Sınaq üsulu ilə kökün təqribi qiymətini istənilən dəqiqliklə hesablamaq mümkün olsa da, bu üsul praktiki cəhətdən bir o qədər də əlverişli deyildir. Çünki, kökün dəqiq qiymətinə bu üsulla yaxınlaşmanın sürəti çox kiçikdir.

İndi isə bu deyilənləri bir sadə misal üzərində izah edək :

Misal. x³ – 12x + 3=0 tənliyinin [0,1] parçası ilə təklənən x₂ kökünü parçanı yarıya bölməklə təqribi hesablayın.

[0,1] parçasının orta nöqtəsi olar. ƒ(0)=+3, ƒ( və ƒ(1)=-8 olduğundan x₂ kökünü təkləyən yeni parça olaraq [0, ] parçasını götürmək olar. x₂ qəbul etsək, onda bu təqribi bərabərliyin mütləq xətası olar.

Bu prosesi bir də tərbiq etsək ƒ(0)=+3, ƒ və ƒ( olduğunu nəzərə alsaq, onda x₂ kökünü təkləyən yeni parça olaraq [ ] parçasını götürmək olar. Bu halda təqribi bərabərliyini alarıq. Burada prosesi yenə də davam etdirmək mümkündür.