Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg’unligi

ATS barqarorligi tushunchasi. Lyapunov teoremalari.

"Texnik tizimlarni boshqarish" nazariyasida sifat menejmenti tushunchasi umumiy qabul qilingan bo'lib, uchta asosiy komponentdan iborat:

• 
  ATS barqarorligi (yoki barqarorlik chegaralari);
  
• 
  ACS aniqligi ;
  
• 
  o'tish jarayonining sifati.
  

Shuni ta'kidlash kerakki, agar yopiq ACS ning barqarorligi ta'minlanmagan bo'lsa , unda o'tkinchi jarayonning aniqligi va bundan tashqari, sifati haqida gapirish ma'nosizdir.
Shuning uchun "barqarorlik" tushunchasi ATS uchun eng muhim tushunchadir.
Keling, "barqarorlik" tushunchasining "mexanik" o'xshashligini keltiramiz. 
6.1.1-rasm a) mutlaqo barqaror holat, b) beqaror holat, v) neytral (befarq) pozitsiya.
a) holatida, to'p pastki pozitsiyadan chetga chiqqanda, u o'zining barqaror holatiga ("huni" ning pastki qismiga) qaytadi.
b) pozitsiyada  to'pning muvozanat holatidan ozgina og'ishi uning pastga tushishiga olib keladi; bular. to'p tepalikning tepasida o'z -o'zidan qaytib kelmaydi . 
c) holatida, to'pga ta'sir qilganda, u gorizontal yo'nalishda harakatlana boshlaydi va agar ishqalanish bo'lmasa, u holda to'p doimiy tezlikda harakat qiladi.
Agar haqiqiy yopiq ACS a) ga o'xshash xususiyatlarga ega bo'lsa, u " yaxshi ", agar b) " juda yomon " bo'lsa. ACS ni uning xususiyatlari a) ga o'xshash tarzda loyihalash kerak, ya'ni. agar biron bir bezovta qiluvchi ta'sir tizimni muvozanatdan chetga surib qo'ysa, u holda boshqaruv tizimi texnik tizimni muvozanat holatiga qaytarishga majburdir .
Ilgari biz yopiq ACS uchun bezovta qiluvchi harakat uchun uzatish funktsiyasini boshqargan edik ( oldingi ma'ruzadagi 5.4 formulasiga qarang ). "Kirish-chiqish" o'zgaruvchilarida tasvirlangan yopiq ACS dinamikasi tenglamalari:

Bunday tenglamaning yechimlari ikkita funktsiyaning yig'indisi bo'ladi:  , bu erda  o'z yechimi, at va harakat natijasida yuzaga kelgan  majburiy yechim.
Keling, xarakteristik tenglamani yechamiz (batafsilroq ma'lumotni bu erda ko'ring ...)

Oddiy quvvat tenglamasi bo'lgan (6.1.2) tenglamani echish, har qanday usulda (shu jumladan kompyuterda standart pastki dasturlardan foydalanish) xarakteristik tenglamaning ildizlarini topamiz , keyin o'z yechimimiz quyidagi shaklni oladi:

Qiymatga qarab  , funksiya turi uchun bir nechta variant mumkin. 6.1.2-rasmda real son yoki kompleks son  bo'lgan holatda shakl funksiyasining xatti-harakati ko'rsatilgan .
6.1.2-rasm Mumkin yechim
Yuqoridagi raqamlarning tahlili shuni ko'rsatadiki, agar barcha komponentlar nolga moyil bo'lsa, tizim asl   holatiga   qaytishi mumkin . Va buning uchun eksponent manfiy bo'lishi kerak. Shuning uchun barqarorlik sharti - ildizlarning haqiqiy qismining salbiy qiymati,  ya'ni . xarakterli tenglamaning ildizlari chap  yarim tekislikda yotishi kerak .
6.1.3-rasm Xarakteristik tenglama ildizlarining joylashuvi
Agar ildizlar murakkab bo'lsa, unda jarayon tebranish, agar ildizlar haqiqiy bo'lsa, unda jarayon aperiodik (parchalanish).  Bundan tashqari, ordinat o'qi barqarorlik chegaralariga mos keladi  (aperiodik yoki tebranish). Shunday qilib, yopiq (va ochiq) ACS ning barqarorligi yoki beqarorligi haqidagi savol mos keladigan xarakterli tenglamaning ildizlarining joylashuvi bilan belgilanadi.
Ochiq ACS uchun oldingi ma'ruzadagi  ko'chirish funksiyasi maxrajining xarakteristik tenglamasining ildizlari bilan barqarorlik aniqlanadi o'rniga, biz ochiq o'tkazish funktsiyasiga ko'ra, yopiq ACSning uzatish funktsiyasini hisoblash formulasini oldik. ACS:
 Shunday qilib, yopiq va ochiq ACSning barqarorligi yoki beqarorligi haqidagi savol mos keladigan xarakterli tenglamaning ildizlarining joylashuvi bilan belgilanadi.

Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari chap yarim tekislikda yotsa (joylashgan), chiziqli (yoki chiziqli) ACS barqarordir.
Shuni ta'kidlash kerakki, tenglama koeffitsientlari polinom (polinom) koeffitsientlari bilan mos keladi, shuning uchun yopiq ACS qutblari xarakterli tenglamaning ildizlari bilan bir xil tarzda mos keladi , bu erda xarakterli tenglamaning  ildizlari;  - uzatish funksiyasining qutblari.
Eslatib o'tamiz, uzatish funktsiyasining qutbi uning argumentining qiymati bo'lib, bunda funktsiyaning maxraji nolga aylanadi .
Lyapunov quvvat funksiyalarining yaqinlashuvi uchun taxminan bir xil asoslardan foydalanib, chiziqli ACS barqarorligi bo'yicha 3 ta teoremani shakllantirdi: 

1. 
   Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari yoki ACS uzatish funktsiyasining qutblari chap yarim tekislikda joylashgan bo'lsa, u holda bu ACSni muvozanatdan chiqargan tashqi ta'sir olib tashlanganda chiziqli ACS o'zining dastlabki holatiga qaytadi . Shuning uchun ATS barqaror.
   
2. 
   Agar ACS uzatish funktsiyasining kamida bitta qutbi (yoki xarakterli tenglamaning ildizi) o'ng yarim tekislikda joylashgan bo'lsa (qolganlari chap yarim tekislikda), chiziqli (chiziqli) ACS hech qachon qaytib kelmaydi . uning dastlabki (muvozanat) holati, bu ACSni olib kelgan tashqi ta'sir muvozanatning dastlabki holatidan chiqarilganda. Shuning uchun SAR beqaror.
   
3. 
   Agar ACS uzatish funktsiyasi qutblaridan kamida bittasi (xarakteristik tenglamaning ildizlari) xayoliy o'qda bo'lsa (barcha qolganlari chap yarim tekislikda bo'lsa), chiziqli ACSning barqarorligi haqida hech narsa aytish mumkin emas , chunki ACS dinamikasida chiziqli bo'lmagan (tashlangan) atamalarni hisobga olish har qanday natijani berishi mumkin (barqaror yoki beqaror).
   

Yuqoridagilarni umumlashtirib, shuni ta'kidlaymiz:
ACS barqaror yoki beqaror (ham yopiq, ham ochiq) ekanligini aniqlashning eng oddiy usuli yopiq ACS (yoki ochiq ACS) uchun tenglamani yoki xarakteristik tenglamani yoki  - ochiq ACS uchun).
Agar ACS holat o'zgaruvchilarida ko'rsatilgan bo'lsa, ACS barqarorligi masalasi A matritsasi - o'z matritsasi bilan belgilanadi:

Agar A matritsasining xos qiymatlari chap yarim tekislikda  bo'lsa, CAP barqarordir; agar kamida bitta xos qiymat o'ng yarim tekislikda bo'lsa, chiziqli ACS beqaror.
Xususiy qiymatlar (chiziqli algebra bo'limiga ko'ra) tenglamadan topiladi:
Aslida (6.1.6) va (6.1.7) tenglamalar ACSning xarakteristik tenglamalari hisoblanadi. Shuning uchun, agar ACS holat o'zgaruvchilarida ko'rsatilgan bo'lsa, u holda kirish-chiqish o'zgaruvchilarida ACSni belgilashda xarakterli polinomni quyidagicha aniqlash mumkin:

Sof matematik jihatdan barqarorlikni aniqlash muammosi kuch tenglamasini echish yoki A matritsasining  xos qiymatlarini topish muammosiga tushiriladi.