Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg’unligi

p _i - (72) differentsial tenglamaga mos keladigan xarakteristik tenglamaning (75) ildizlari:
. (75)
Agar eritmaning (74) barcha komponentlari vaqt o'tishi bilan nolga moyil bo'lsa, (73) shartni qondirish mumkin. Barcha koeffitsientlar C _i doimiy bo'lganligi sababli, har bir komponentning tabiati   faqat p _i ga bog'liq .
Agar p _i musbat real qiymat bo'lsa, u   vaqt o'tishi bilan cheksizgacha ortadi. Agar p _i manfiy haqiqiy qiymat bo'lsa,   vaqt o'tishi bilan u nolga intiladi. Agar   murakkab miqdor bo'lsa, unda
—
vaqtinchalik jarayon tebranishli bo'lib, uning amplitudasi A kompleks ildizning haqiqiy qismining belgisiga qarab ortadi yoki kamayadi. Bunday holda, agar kompleks ildizning haqiqiy qismi musbat qiymat bo'lsa, u holda o'tkinchi jarayon tebranish amplitudasining ortib borayotgan qiymati bilan tebranuvchi bo'ladi, ya'ni u divergent bo'ladi; agar murakkab konjugat ildizning haqiqiy qismi manfiy qiymat bo'lsa, tebranish amplitudasi vaqt o'tishi bilan nolga moyil bo'ladi.
Haqiqiy ildizlar komplekslarning alohida holati bo'lganligi sababli (b=0 uchun), yuqoridagi fikrlarga asoslanib, chiziqli tizimlarning barqarorligi uchun quyidagi shart mavjud . Chiziqli ACS barqaror bo'lishi uchun xarakterli ACS tenglamasining barcha ildizlarining haqiqiy qismlari manfiy bo'lishi zarur va etarli.

Guruch. 41. Xarakteristik tenglamaning ildizlarini taqsimlash
murakkab tekislikda:
a - barqaror tizim; b - beqaror tizim
Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab tekislikda joylashgan bo'lsa, u holda tizim barqarorligi uchun barcha ildizlarning xayoliy o'qning chap tomonida yotishi zarur va etarli. Agar bir juft murakkab ildiz xayoliy o'qda, qolganlari esa uning chap tomonida yotsa, u holda tizim barqarorlik chegarasida bo'ladi. Shaklda. 41 5-tartibli xarakteristik tenglamaning ildizlarini taqsimlashni ko'rsatadi. Shunday qilib, barqarorlikni o'rganish xarakterli tenglama ildizlarining haqiqiy qismining belgilarini aniqlashga qisqartiriladi.
3.2. Hurvits barqarorlik mezoni
Tizimning xarakteristik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:
. (76)
Xurvitsning fikricha, ACS barqaror bo'lishi uchun xarakteristik tenglama (76) koeffitsientlaridan tashkil topgan Xurvits determinanti, shuningdek, ushbu determinantning barcha diagonal minorlari musbat bo'lishi zarur va etarlidir . ₀ ham ijobiy bo'lishi kerak . Hurvits determinantini tuzish uchun siz quyidagi qoidalarga amal qilishingiz kerak.
1. (76) tenglamaning barcha koeffitsientlarini bosh diagonal bo'ylab indekslarning o'sish tartibida ₁ dan _p gacha yozing.
2. Determinantning barcha ustunlarini diagonaldan yuqoriga ko'taruvchi koeffitsientlar, pastga qarab - pasayuvchi indekslar bilan to'ldiring.
3. Indekslari n dan katta va 0 dan kichik bo'lgan koeffitsientlar o'rniga nollarni qo'ying.
(76) tenglama uchun determinant quyidagicha ko'rinadi:

3-tartibli tenglama uchun Xurvits barqarorlik sharti quyidagicha bo'ladi:
. (78)
3.3. Mixaylov barqarorlik mezoni
Yopiq boshqaruv tizimining differentsial tenglamasiga mos keladigan xarakteristik tenglamani ko'rib chiqing
. (79)
va uni murakkab shaklda yozamiz, buning uchun r o'rniga i w xayoliy sonini qo'yamiz . Keyin (79) tenglama quyidagiga aylantiriladi:
. (80)
Haqiqiy qismni (80) tenglamadagi xayoliy qismdan ajratib, uni quyidagi shaklda ifodalashimiz mumkin:
.  (81)
w ning qiymatini 0 dan ∞ ga o'zgartirib, r( w ) , Q( w ) kompleks tekislikda L(i w ) vektor yoki godograf quramiz .
Mixaylovga ko'ra yopiq tizim uchun barqarorlik sharti quyidagicha ifodalangan: avtomatik boshqaruv tizimi, agar w 0 dan ∞ ga o'zgarganda, musbat real yarim ustida yotgan nuqtadan boshlab L (i w ) vektori barqaror bo'ladi. -samolyotning o'qi, soat miliga teskari yo'nalishda aylanadi, hech qayerda g'oyib bo'lmasdan, ketma-ket n kvadrantni (ya'ni, I, II, III, IV, I, II va boshqalar) kesib o'tadi, bu erda n - xarakterli tenglamaning kuchi.

Guruch. 42. Mixaylovning godograflari: