Clasa a vi-a Capitolul 0 recapitulare (4 ore) 1) Mulţimea numerelor naturale

Algoritm de a vedea dacă un număr este prim sau

compus

E1) dacă numărul este mic, îl descompunem în factori primi să vedem câţi divizori are acel număr

E2) dacă numărul este mai mare, îl împărţim pe rând la toate numerele prime începând cu 2

E3) dacă găsim un număr la care se împarte, atunci numărul nostru nu este număr prim

E4) dacă nu găsim niciun număr la care se împarte, continuăm până am obţinem un cât mai mic sau egal cu împărţitorul, iar în acest caz

numărul iniţial este prim

Obs. 1: numerele prime diferite de 3 sunt de forma sau

Obs. 2: numerele prime diferite de 2 şi 3 sunt de forma sau

11. 
    Aflarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) şi cel
    

mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c)

c.m.m.d.c. – se descompun numerele în factori primi şi c.m.m.d.c. este egal cu produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică, îl notăm .

c.m.m.m.c. - se descompun numerele în factori primi şi c.m.m.m.c. este format din produsul factorilor comuni şi necomuni la puterea cea mai mare, îl notăm cu

Obs.:

12. 
    Numere prime între ele - au cel mai mare divizor comun
    

pe 1, se notează

Obs.: două numere pot fi prime între ele fără a fi neapărat numere prime.

Exp.: şi sunt numere prime între ele, însă ele nu sunt numere prime

Capitolul II

OPERAŢII CU NUMERE

RAŢIONALE POZITIVE

1. 
   Mulţimea numerelor raţionale se notează cu şi
   

Numerele raţionale conţin fracţii ordinare (apare linie de fracţie) şi fracţii zecimale (nu apare linie de fracţie, apare însă virgula)

Obs.: mulţimea numerelor raţionale pozitive se notează cu

2. 
   Fracţii ordinare - au forma, unde a se numeşte
   

numărător, iar b numitor

Obs. 1: numărătorul este separat de numitor prin linie de fracţie

3. 
   Fracţii subunitare, fracţii supraunitare, fracţii
   

echiunitare

1. 
   fracţii subunitare – au numărătorul mai mic decât numitorul, adică fracţia este subunitară dacă
   
2. 
   fracţii supraunitare – au numărătorul mai mare decât numitorul, adică fracţia este supraunitară dacă
   
3. 
   fracţii echiunitare – au numărătorul egal cu numitorul, adică fracţia este echiunitară dacă
   

4. 
   Două fracţii şi sunt egale (sau echivalente) dacă
   

Exp: sunt echivalente deoarece

5. 
   Transformarea fracţiilor ordinare în zecimale – se
   

realizează prin împărţire până obţinem restul 0.

Dacă la cât, zecimalele se repetă atunci avem fracţii periodice.

Exp.: : ;

Obs. 1: Fracţia ordinară este un număr natural dacă şi numai dacă .

Exp.: este un număr natural doearece

6. 
   Transformarea fracţiilor zecimale în ordinare
   

Exp 1:

Exp 2:

Exp. 3:

Exp. 4:

7. 
   Adunarea numerelor raţionale pozitive
   

1. 
   cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se adună
   

numărătorii

Exp. : 

2. 
   cu numitori diferiţi – se aduc fracţiile la acelaşi numitor
   

E1) se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor care se va numi NUMITORUL COMUN al fracţiilor

E2) se amplifică fiecare fracţie cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia

Exp. 1 :

Soluţie:

E1) observăm că nu le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor, şi anume al numerelor 12 şi 15;

Avem şi , iar , deci numitorul comun este

E2) câtul dintre şi este 5, iar câtul dinte şi este 4, deci prima fracţie o amplificăm cu 5, iar a doua fracţie o amplificăm cu 4 şi obţinem .

Obs. 1: pentru a aduna un număr natural cu o fracţie, ţinem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracţie cu numitorul 1

Exp. 2:

8. 
   Scăderea numerelor raţionale pozitive
   

1. 
   cu acelaşi numitor – se copiază numitorul şi se scad
   

numărătorii

Exp.

2. 
   cu numitori diferiţi cu numitori diferiţi – se aduc fracţiile
   

la acelaşi numitor

E1) se calculează c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor care se va numi NUMITORUL COMUN la fracţiilor

E2) se amplifică fiecare fracţie cu câtul dintre numitorul comun şi numitorul acesteia

Exp. 1 :

Soluţie:

E1) observăm că nu le putem aduna direct pentru că nu avem acelaşi numitor; calculăm c.m.m.m.c. al numitorilor fracţiilor, şi anume la numerelor 12 şi 15;

Avem şi , iar , deci numitorul comun este

E2) câtul dintre şi este 5, iar câtul dinte şi este 4, deci prima fracţie o amplificăm cu 5, iar a doua fracţie o amplificăm cu 4 şi obţinem .

Obs. 1: pentru a scădea un număr natural cu o fracţie, ţinem cont ca oricărui număr natural îi corespunde o fracţie cu numitorul 1

Exp. 2:

9. 
   Înmulţirea numerelor raţionale pozitive
   

Dacă avem fracţiile , cu atunci Exp.:

Obs.: Produsul dintre un număr natural şi o fracţie este

Obs.: de obicei, produsele se simplifică până la obţinerea unor fracţii ireductibile

Exp.:

10. 
    Ridicarea la putere a unui număr raţional pozitiv
    

Dacă , iar este un număr raţional pozitiv, atunci avem , unde se numeşte bază, iar n se numeşte exponent

Obs.1: prin convenţie , iar nu se defineşte

Obs. 2: Dacă este un număr raţional pozitiv, iar , atunci

1. 
   Pentru are loc inegalitatea
   
2. 
   Pentru are loc inegalitatea
   

Exp: şi

13. 
    Proprietăţi ale puterilor
    

1. 
   şi
   
2. 
   şi unde
   
3. 
   şi
   

4. 
   şi
   
5. 
   şi
   

11. 
    Împărţirea numerelor raţionale pozitive
    

Pentru a împărţii două fracţii, înmulţim prima fracţie cu cea de-a doua inversată.

Exp.:

Obs.1: Există fracţii etajate, iar pentru transformarea lor în fracţii simple, folosim că înseamnă , deci vom împărţi numărătorul la numitor, adică înmulţim numărătorul cu inversul numitorului. Este foarte important în dreptul cărei linii de fracţii se

pune ; folosim relaţia

Exp. 1:

Exp. 2:

Exp. 3:

Capitolul I

DREAPTA

1. 
   Punctul - nu are lungime, nu are lăţime, nu are înălţime (se reprezintă punând vârful unui creion)
   

Obs.1: Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Obs.2: Există puncte distincte (nu sunt situate în acelaşi loc) şi puncte confundate(coincid), sunt situate în acelaşi loc.

Exp.:

2. 
   Dreapta - este cel mai scurt drum între 2 puncte şi este prelungită în ambele capela la infinit. Are lungime, nu are lăţime, nu are înălţime.
   

Obs.1: dreapta se notează cu litere mici ale alfabetului sau, în ipoteza în care ştim două puncte ale dreptei, o putem nota prin punctele respective, adică

Obs.2: Puncte coliniare – sunt situate pe aceeaşi dreaptă

Obs.3: Puncte necoliniare – nu sunt situate pe aceeaţi dreaptă

3. 
   Semidrepta – este mulţimea punctelor dintr-o dreaptă mărginită doar la un capăt. Capătul în care este mărginită se numeşte originea semidreptei.
   

Obs.: Există semidrepte deschise şi semidrepte închise. Pentru a nota o semidreaptă trebuie să cunoaştem originea şi încă un punct oarecare al semidreptei.

Exp.: este semidreapta deschisă, porneşte din , nu îl conţine pe , şi merge în direcţia lui către infinit

este semidreapta închisă, porneşte din , îl conţine pe , şi merge în direcţia lui către infinit

4. 
   Plan: este asemeni unei foi de hârtie prelungită în toate direcţille la infinit. Are lungime, are lăţime, nu are înălţime. Se notează cu litere greceşti -alpha, -beta, etc.
   

Obs.: semiplan – este porţiunea din plan delimitată de o dreaptă, adică “foaia de hârtie nu se prelungeşte decât în 3 direcţii”

Obs.1: drepte coplanare - sunt drepte situate în acelaşi plan

drepte necoplanare – drepte care nu sunt situate în acelaşi plan

drepte concurente – intersecţia lor este formată dintr-un singur punct

drepte confundate(coincid) – sunt drepte care se suprapun

drepte paralele – sunt drepte coplanare care nu sunt concurente

Exp.:

drepte necoplanare

drepte concurente

drepte paralele

5. 
   Segmente - este mulţimea punctelor dintr-o dreaptă
   

mărginită la ambele capete Există segmente închise, deschise, semideschise.

Exp: este segment deschis, nu conţine pe , nu conţine pe , conţine toată porţiunea dintre şi

este segment închis, conţine pe A, conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre şi

este segment semideschis, conţine pe A, nu conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre şi

este segment semideschis, nu conţine pe A, conţine pe B, conţine toată porţiunea dintre şi

Exp.:.reprezentaţi: a) segmentul semideschis

b) segmentul deschis

c) segmentul închis

d) segmentul semideschis

6. 
   Lungimea unui segment
   

• 
  distanţa dintre două puncte este lungimea segmentului
  

cu extermităţile în cele două puncte

• 
  distanţa dintre două puncte este cel mai scurt drum
  
• 
  fiecărui segment îi corespunde un număr care se numeşte
  

lungimea segmentului

• 
  lungimea unui segment se determină folosind rigla gradată
  
• 
  notăm şi citim distanţa de la A la B
  

7.