Clasa a vi-a Capitolul 0 recapitulare (4 ore) 1) Mulţimea numerelor naturale

Clasa a VI-a

Capitolul 0

RECAPITULARE (4 ore)

1) Mulţimea numerelor naturale

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N şi N ={0;1;2;3;...}

Obs. 1: N* ={1;2;3;...}

Ar fi minunat să începem cu o poveste de genul:

Am mers ieri pe malul apei, în pădure, şi cu mine erau 3 copiii, aşa ca şi voi. Deoarece eu m-am dus cu gândul să fac fotografii naturii, copiii se plictiseau. Cum nici eu nici ei nu aveau nicio jucărie, pentru că LEGO l-am uitat acasă (vouă vă place Lego?) am început să le dau o grămadă de pietricele. Ştiţi cum mai puteam spune în loc de grămadă? (Mulţime). Le-am cerut să se gândească la ce jocuri se pot juca cu ele. Ce jocuri credeţi că au găsit? Chiar dacă unii vor spune că au încercat să dea cu pietre unii în alţii, sau să le arunce în apă, suntem de acord, însă educăm spunând că dacă ei ar fi cei ÎN CARE SE DĂ cu pietre, cum s-ar simţi?

Cu siguranţă se va găsi (sau nu) unul care va spune că au început să le numere, sau că le-au împărţit la fiecare şi au vrut să vadă care are mai multe. Oricum, se va ajunge astfel la numărare, care e o chestie FIREASCĂ, NATURALĂ, de aceea vom spune că azi vom face MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE, şi vom scrie titlul pe tablă.

Aproape sigur ei nu vor ajunge la 0, şi atunci îi întrebăm câte pietre am eu.

Ar fi bine de căutat o explicaţie pentru notaţia N*, şi atunci îi putem întreba unde au mai văzut pe cineva cu stea în frunte, adică era deosebit, cu mai multe calităţi. Şi atunci le putem spune că şi în viaţă contează oamenii care au calităţi, nu aceia cu zero calităţi şi ajungem la mulţimea oamenilor cu calităţi, care sunt în N*. Îi putem întreba....îşi doresc să facă parte din N* sau din N?

2) Adunarea numerelor naturale a + b = S , unde a şi b sunt termenii sumei, iar S este suma celor două numere

Obs. 1: adunarea are proprietăţile:

-Asociativitate: ( a + b ) + c = a + ( b +c) pentru orice numere naturale a , b , c

-Comutativitate: a + b = b +a pentru orice numere naturale a , b

-Element neutru: a + 0 = 0 + a = a pentru orice număr natural a . (adnunarea are element neutru pe zero)

ADUNARE = Operație aritmetică prin care două sau mai multe numere se totalizează într-unul singur , punerea împreună a mai multor obiecte, pietricele, fiinţe aşa cum a fost exemplul anterior.

De exemplu, voi v-aţi adunat vreodată cu vreun scop anume? Dacă vor spune NU, le ăm exemplu prima zi de şcoală. Cine ar fi termenii acelei adunări? dacă vor răspunde că TOŢI ELEVII, voi adăuga: ŞI PĂRINŢII, ŞI PROFESORII etc. Vom veni şi cu alte exemple, treptat vom trece înspre adunări cu numere, vom întreba cine sunt termenii, cine e suma, şi VOM STRECURA O SCĂDERE CORECTĂ, iar ei vor spune tot termeni, şi tot sumă. TREBUIE să îi ţinem permanent atenţi.

Tot aici ar trebui neapărat găsiţi vreo 10 elevi care să iasă în faţă, şi îi împărţim în 3 grupe, de exemplu 4+1+5, şi îi adunăm asociind, vor vedea că dă acelaţi rezultat, deci avem asociativitatea. La fel făcut pt comutativitate, la fel pentru adunarea cu zero, unde poate mai simplu ar fi cu ceva obiecte din căciuli, sau adunaţi cei care încep cu R cu cei care încep cu Y, pentru a nu avea nimic.

3) Înmulţirea numerelor naturale a ⋅ b = P , unde a şi b sunt factorii produsului, iar P este produsul celor două numere

Obs. 1: înmulţirea are proprietăţile:

a)Asociativitate: (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅c) pentru orice numere naturale a , b , c

b)Comutativitate: a ⋅ b = b ⋅a pentru orice numere naturale a , b

c)Element neutru: a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a pentru orice număr natural a . (înmulţirea are element neutru pe unu)

d)Dacă a ⋅ b = 0 , atunci a = 0 sau b = 0

e)a ⋅ 0 = 0 şi 0 ⋅ a = 0

Obs.: Adunarea şi înmulţirea sunt întotdeauna definite pe , adică

∀a , b ∈⇒ a + b ∈ şi a ⋅ b ∈

Înmulţirea e o adunare repetată şi e foarte utilă atunci când avem de adunat acelaţi număr de obiecte de mai multe ori.

Eu luna trecută am fost răcit şi pentru că nu vroiam să nu faceţi mate(Voi vroiaţi să nu faceţi mate?) m-am dus la doctor şi mi-a spus să iau aspirină de 3 ori pe zi câte 10 zile. Când m-am dus la farmacie, domna farmacistă a început să scrie pe un bileţel 3+3+3+3..., voi cum aţi fi făcut?

Aşa-i că e mai bine să ştii matematică?

Să mergem acum pe asociativitate.

Zilele trecute m-a sunat un prieten care lucrează la Liedl şi care spunea că nu mai găseşte o factură pe care erau trecute numărul de pungi de napolitane JOE cu alune(vouă vă plac acele napoolitane?) Ştie doar că a primit 10 colete mari prinse în folie. În fiecare colet sunt 40 de cutii, iar în fiecare cutie sunt 20 de pungi de napolitane. Voi ştiţi câte pungi a primit magazinul? şi aici NEAPĂRAT să îi punem să gândească:

Met. I: Calculăm întâi numărul tota de cutii, 10*40=400, apoi numărul de pungi 400*20=8000

Met. II: Calculăm numărul de pungi dintr-un colet 40*20'800, apoi.....

4)Scăderea numerelor naturale a − descăzutul, b este scăzătorul iar D este numere

Obs. 1: scăderea nu este asociativă, nu est element neutru

5) Factor comun

a)a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ ( b +c), a este factor comun

b)a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅c , a este factor comun

c)a ⋅ b − a ⋅ c = a ⋅ ( b −c), a este factor comun

d)a ⋅ ( b − c ) = a ⋅ b − a ⋅c , a este factor comun

Obs. Greutatea constă în observarea factor Exp. 1: 2341 + 2341 ⋅ 7 + 2341 ⋅ 2 = 2341 ⋅ (1 + 7 + 2)

Când am fost la bunici la ţară, am văzut în curte 3 pisici, şi bunicul m-a întrebat câte degete au împreună aceste pisici. Ştiind că în faţă au 5 degete iar în spate au 4 degete, am 5+4=9, apoi 3x9=27. Ştiţi că şi la câini este la fel?

6) Împărţirea numerelor naturale

R < C unde a este deîmpărţitul, b este câtul celor două numere iar R este restul

Obs. 1: împărţirea nu este asociativă, nu es element neutru

Obs. 2: dacă după efectuarea împărţirii obţ am greş it undeva

Obs. 3: dacă R = 0 atunci avem împărţire

7) Proba împărţirii cu rest

Din a : b = C , rest R cu R < C obţinem a Formula a = b ⋅ C + R se numeşte proba împartirii cu rest.

8)Ridicarea la putere

-definiţia puterilor: dacă a este un număr natural nenul ⇒aⁿ = a⋅a⋅ ... ⋅a de n ori

Obs. 1: a se numeşte bază, iar n se numeşt Exp. 1: 2³ = 2 ⋅ 2 ⋅2 , unde 2 este bază şi 3 Exp. 2: 3² = 3 ⋅3 , unde 3 este bază şi 2 est

Obs. 2: a⁰ =1, pentru orice a număr nat

Obs. 3: 0 ^a = 0 , pentru orice a număr natural nenul

Obs. 4: a¹ = a , pentru orice a număr natural

Obs. 5: 1^a =1 , pentru orice a număr natural

9) Proprietăţi ale puterilor:

a)	a ^m⋅ a ^n= a^m^+^nşi a ^m^+^n= a ^m⋅a^n
b)	a ^m: a ^n= a^m^−^nşi a ^m^−^n= a ^m: a^nunde m ≥ n
c)	( a^m )^n = a^m^⋅^n şi a^m^⋅^n = ( a^m )^n
d) ( a⋅b )^n = a^n⋅b^n şi a^n⋅b^n = ( a⋅b)^n
	a ^n: b ^n=( a : b)^nşi( a : b )^n= a ^n: b^n, cu condiţia ca a săse imparta exact la b

10) Compararea puterilor

a) Dacă puterile au aceeaşi bază, este mai mică puterea cu exponentul cel mai mic

Exp. 1: 5 ⁴⁷< 5⁶¹ deoarece baza e aceeaşi iar exponenţii 47 < 61

b) Dacă puterile au acelaşi exponent, este mai mică puterea cubaza cea mai mică

Exp. 1: 47 ⁵< 61⁵ deoarece exponentul e aceeaşi iar bazele 47 < 61 Obs.: dacă puterile nu au aceeaşi bază şi nici acelaşi exponent, atunci se încearcă aducerea sau la aceeaşi bază, sau la acelaşi exponent

Exp. 2: comparaţi a = 27⁵ şi b = 9⁷

E1) a = ( 3 ³ )⁵ = 3¹⁵

E2) b = ( 3 ² )⁷ = 3¹⁴

E3) baza e aceeaşi iar 14 < 15 ⇒b<a

11) Puteri etajate: pentru a calculaa^bcalculează întâi b^c , apoi se ridică a la puterea rezultata

Exp.: 5²¹ = 5² = 25 şi 4²³ = 4⁸ = 65536 Obs. 1: a^bc ≠ (a^b )^c

Exp.: 4 ²³ = 4⁸ este diferit de (4² )³ = 4⁶

12) Pătrat perfect, cub perfect

a) spunem ca un numar a este patrat perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 2

b) spunem ca un numar a este cub perfect daca se poate scrie sub forma unei puteri cu exponent 3

Exp.1: 25 este pătrat perfect deoarece 25 Exp.2: 8 este cub perfect deoarece 8 = 2³

Obs.1: numerele naturale 0 şi 1 sunt patrate perfecte si cuburi perfecte

Obs. 2: orice număr natural care se poate se pate scrie sub forma unei puteri cu exponentul 6 este şi cub perfect, Exp.: 64 = 8 ²⇒ 64 este pătrat perfect

64 = 4 ³⇒ 64 este cub perfect

13) Ordinea efectuării operaţiilor

Operaţiile sunt de 3 tipuri:

a)de ordin 1: adunarea şi scăderea

b)de ordin II: înmulţirea şi împărţire

c)de ordin III: ridicările la putere

E1) dacă nu există paranteze şi operaţiile s efectuează în ordinea în care apar

E2) dacă nu există paranteze şi operaţiile nu sunt de acelaşi ordin, se efectueaz ă întâi ridicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile şi abia apoi adunările şi scăderile

E3) dacă există paranteze se efectuează întâi operaţiile din parantezele rotunde, apoi din paranteze drepte şi abia apoi la final din acolade, în fiecare paranteză respectându-se regulile de mai sus

Exp: N = 2 + {5 − 4 + 2 ⋅ 3 − ( 2 + 6:3 ⋅ 2) } = 2 + {5 − 4 + 2 ⋅ 3 − ( 2 + 2 ⋅ 2) }=

=2 + {5 − 4 + 2 ⋅ 3 − ( 2 + 4 ) } = 2 + 5 − ( 4 + 2 ⋅ 3 − 6 ) = 2 + 5 − ( 4 + 6 −6)

=2 + 5 − (10 − 6 ) = 2 + ( 5 − 4 )= 2 + 1 = 3

Obs. Era greşit ca în paranteza rotundă să o calculăm nerespectând ordinea operaţiilor chiar dacă sunt de acelaş i grad

Este GREŞIT: 2 + 6 :3 ⋅ 2 = 2 + 6 : 6 = 2 + 1 = 3

Este CORECT: 2 + 6 :3 ⋅ 2 = 2 + 2 ⋅ 2 = 2 + 4 = 6

De aici, de la Capitolul I ne interesează cum predăm

Capitolul I

DIVIZIBILITATEA NUMERELOR

NATURALE

1. 
   Pentru a arăta că divizibil cu sunt două metode:
   

Metoda 1: Spunem că divizibil cu dacă există un număr natural astfel încât , se notează

Metoda 2: Spunem că divizibil cu dacă restul împărţirii lui la este zero, se notează .

Exp.1: deoarece

Metoda 1: există numărul natural 2 cu

Metoda 2: , deci restul împărţirii lui 10 la 5 este 0.

Obs.1: se numeşte DIVIZOR al numărului natural , iar se numeşte MULTIPLU al numărului natural

Exp. 2: Dacă , înseamnă că este divizor al lui 16, iar numarul 16 este multiplu al lui 4

2. 
   Pentru a arăta că divide pe sunt două metode:
   

Metoda 1: Spunem că divide pe dacă există un număr natural astfel încât , se notează

Metoda 2: Spunem că divide pe dacă restul împărţirii lui la este zero, se notează .

Exp.1: deoarece

Metoda 1: există numărul natural 3 cu

Metoda 2: , deci restul împărţirii lui 6 la 2 este 0.

3. 
   Mulţimea divizorilor unui număr natural, mulţimea
   

multiplilor unui număr natural

1. 
   Mulţimea divizorilor unui număr natural se notează
   
2. 
   Mulţimea multiplilor unui număr natural se notează
   

Exp.: şi

Obs.: mulţimea divizorilor unui număr natural este finită, iar mulţimea multiplilor unui număr natural este infinită

4. 
   Divizorii proprii, divizorii improprii
   

Orice număr natural are divizori proprii şi divizori improprii Divizori improprii – “nu divid, nu sparg numărul” sunt 1 şi numărul însuşi

Divizori proprii – “divid, sparg numărul” sunt ceilalţi divizori

Exp.: divizori improprii: 1 şi 6,

divizori proprii: 2 şi 3.

5. 
   divide pe este acelaşi lucru cu divizibil cu
   
6. 
   Criterii de divizibilitate – reguli care precizează când
   

a este divizibil cu b, fără a face împărţirea lui a la b:

1. 
   este divizibil cu 2 n are ultima cifră pară
   
2. 
   este divizibil cu 3 n are suma cifrelor divizibilă cu 3
   
3. 
   este divizibil cu 4 n are numărul format cu ultimele 2 cifre divizibil cu 4
   
4. 
   este divizibil cu 5 n are ultima cifră 0 sau 5
   
5. 
   este divizibil cu 9 n are suma cifrelor divizibilă cu 9
   
6. 
   este divizibil cu 10 n are ultima cifră 0
   
7. 
   este divizibil cu 25 n are numărul format cu ultimele 2 cifre divizibil cu 25
   
8. 
   este divizibil cu 100 n are ultimele două cifre 0
   

7. 
   Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în
   

1. 
   (refelxivitate)
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   Dacă atunci (dacă divide pe , atunci divide orice multiplu a lui )
   
5. 
   Dacă atunci (tranzitivitate)
   
6. 
   Dacă atunci (antisimetrie)
   

Exp: , astfel încât

Soluţie: .

Dar . Avem aşadar

8. 
   Numere prime, numere compuse
   

Numerele prime au exact doi divizori distincţi naturali

Numere compuse: au mai mult de doi divizori distincţi naturali

Exp. 1: este număr prim, iar este compus

Obs.1:: numerele naturale 0 şi nu sunt prime, nici compuse

Obs.2: singurul număr prim şi par este 2

9. 
   Descompunere în factori primi
   

Etapa 1) dacă ultima cifră este se scrie 2 5

Etapa 2) se încearcă, pe rând, celelalte numere prime

Etapa 3) se scrie apoi numărul ca produs de factori primi, factori primi eventual ridicaţi la putere

Exp.: descompuneţi în produs de factori primi numărul

Deci

10.