Cred ca e foarte buna partea ta de teorie, daca vrei sa o inserezi
Probleme rezolvate din RMCS nr. 39
Yüklə 0,68 Mb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Clasa a VI-a VI. 241
- Clasa a VII-a VII. 241
- Clasa a VIII-a VIII. 241
- Clasa a IX-a IX. 211
- Clasa a XI-a XI. 211
- Probleme alese A 21.
- Probleme propuse
Probleme rezolvate din RMCS nr. 39 Clasa a V-a V. 241 Se consideră mulţimea . Arătaţi că orice submulţime cu 12 elemente a mulţimii conţine două elemente a căror sumă este egală cu 142. OJ Bihor Soluţie: Elementele mulţimii sunt de forma . Din (numărul elementelor mulţimii ). Scriem mulţimea ca reuniunea a 11 submulţimi disjuncte două câte două, după cum urmează: . Observăm că submulţimile cu două elemente au suma elementelor 142 (aşa le-am şi construit de fapt!). Dacă submulţimea aleasă (cea cu 12 elemente) conţine una dintre submulţimile cu două elemente de mai sus, problema este rezolvată. Dacă submulţimea aleasă ar conţine câte un singur element din fiecare dintre cele 11 submulţimi, al doilea element ar trebui ales tot din una dintre submulţimile de câte două elemente şi obţinem concluzia şi în acest caz. V. 242 Arătaţi că suma tuturor pătratelor perfecte de 3 cifre nu este pătrat perfect. Adrian Nemeş, Timişoara Soluţie:
Suma din enunţ este . Pătratele numerelor pare sunt evident multipli de 4; rămâne de studiat (suma a 11 numere impare, pătrate perfecte). Cum pătratul unui număr impar este de forma , deducem că este de forma , deci este de forma , adică nu poate fi pătrat perfect. V. 243 La împărţirea a două numere naturale şi , câtul este jumătate din împărţitor, iar restul este un sfert din cât. Ştiind că suma dintre împărţitor, cât şi rest este 104, aflaţi numerele şi . OJ Caraş- Severin Soluţie: Dacă , avem că este împărţitorul, deci . Conform ipotezei, avem . Din V. 244 O mulţime finită de numere naturale se numeşte interesantă dacă se poate împărţi în două submulţimi şi astfel încât suma elementelor din să fie egală cu suma elementelor din . Se consideră mulţimea . Arătaţi că : a) Mulţimea este interesantă b) Mulţimea nu este interesantă c) Mulţimea este interesantă Aurel Bîrsan, Braşov Soluţie: a) şi satisfac condiţiile din enunţ b)Dacă este „interesantă”, atunci suma elementelor sale este un număr par (!). Cum suma elementelor mulţimii A este , adică un număr impar, deducem că A nu este „interesantă”. c)Punctul a) sugerează poziţionarea mulţimii în două mulţimi „interesante”, astfel . Fie acum şi . Mulţimile şi o partiţionează pe şi au acelaşi număr de elemente. V. 245 Un călător a parcurs un drum în trei zile. În prima zi, a parcurs o doime din drum, a doua zi a parcurs o pătrime din rest, iar a treia zi a parcurs restul de 9 km. Aflaţi lungimea întregului drum şi câţi kilometri a parcurs în fiecare zi. OL Cluj Soluţie: Fie - numărul de km parcurşi (lungimea întregului drum) rezultă . În prima zi a parcurs 12 km, în a doua zi 3 km. V. 246 Determinaţi numerele naturale care ridicate la o putere pară sunt de forma . Călin Burduşel, Tîrgovişte Soluţie: Fie numărul căutat. Conform enunţului . Avem . Deoarece ultima cifră a lui este 1, rezultă că ultima cifră a lui este 1 sau 9. Singurele numere naturale care verifică sunt 49 şi 51. V. 247 Un grup de prieteni vor să lanseze un joc pe internet după următoarea regulă. Primul prieten, adică John trimite în prima zi un e-mail lui Lucian. Lucian trimite acest e-mail a doua zi la alţi doi prieteni, fiecare la rândul lor îl trimit a treia zi altor doi prieteni şi astfel jocul continuă.
OL Giurgiu a)
aşadar avem , deci în 11 zile au fost trimise mesajele; b) .
OJ Harghita Soluţie: V. 249 Trei prinţi au luptat cu balaurul cu multe capete. Primul prinţ, a tăiat cu mâna dreaptă jumătate din capetele balaurului şi cu mâna stângă încă două. Al doilea prinţ cu mâna dreaptă a tăiat jumătate din capetele rămase ale balaurului şi cu mâna stângă încă două. Al treilea a tăiat cu mâna dreaptă jumătate din capetele rămase şi cu mâna stângă ultimele două capete ale balaurului. Câte capete a avut balaurul? OJ Harghita Soluţie: Metoda mersului invers. Al treilea prinţ taie cu mâna dreaptă deci 2 capete, capete au rămas după al doilea prinţ. capete au rămas după primul prinţ. capete a avut balaurul. V. 250 La etapa judeţeană a Olimpiadei de Matematică, elevii sunt repartizaţi la parterul, etajul unu şi etajul doi ale şcolii organizatoare. Sub etajul doi sunt repartizaţi 173 elevi. Deasupra parterului sunt repartizaţi 127 de elevi. Ştiind că numărul elevilor repartizaţi la etajul unu este egal cu numărul elevilor repartizaţi în total la celelalte nivele, determinaţi numărul de elevi repartizaţi la fiecare nivel al şcolii. OJ Hunedoara Soluţie: Fie numărul de elei repartizaţi la parter, etajul unu şi respectiv etajul doi. Avem . Se obţine de unde . Clasa a VI-a VI. 241 Într-un bazin sunt 72 de peşti. Dintre aceşti peşti unii sunt mici, iar alţii sunt mari. Fiecare peşte mare mănâncă exact doi peşti mici, astfel încât că în bazin rămân doar peşti mari. După ce în bazin rămân doar peşti mari, se introduc în bazin câţiva peşti uriaşi. Ştiind că fiecare peşte uriaş mănâncă exact 3 peşti mari şi că în bazin rămân doar peştii uriaşi, să se afle câti peşti uriaşi au fost introduşi în bazin. OJ Bihor Soluţie: Fiecare peşte mănâncă exact doi peşti mici şi numai rămân peşti mici rezultă că numărul peştilor mari este egal cu jumătate din numărul peştilor mici peşti mari; apoi avem (peşti uriaşi). VI. 242 Se consideră mulţimea . a) Să se arate că mulţimea nu se poate împărţi în două submulţimi şi astfel încât produsul elementelor din să fie egal cu produsul elementelor din . b) Să se determine un element din mulţimea astfel încât mulţimea să se poată împărţi în modul descris la punctul a)
Soluţie:Notăm cu produsul elementelor mulţimii . a)Presupunem contrariul; cum , deducem: , deci produsul elementelor lui este pătrat perfect. Avem însă , care nu este pătrat perfect, deci nu poate fi împărţită în condiţiile din ipoteză. b) Evident . Un exemplu de partiţie a mulţimii este: şi .
a)Dacă , arătaţi că pentru orice . b)Dacă , arătaţi că .
Soluţie: a) este mediatoarea lui de unde concluzia. b)Concluzia se obţine observând că este ortocentrul triunghiului VI. 244 Triunghiul are , iar în exteriorul triunghiului se consideră , unde şi . Să se arate că: a) ; b) . Vasile Şerdean, Gherla Soluţie:
. VI. 245 Fie în care . Pe prelungirea laturii dincolo de se ia punctul iar pe prelungirea laturii dincolo de se ia punctul , astfel încât . Dacă , demonstraţi că este echilateral. Cătălin Burduşel, Tîrgovişte Soluţie: Considerăm punctul între şi astfel încât , deci este isoscel cu un unghi de , deci este echilateral. deci , deci , deci , adică ste isoscel cu un unghi de , deci este echilateral
Soluţie: Fie Şi cum în
Concurs Hunedoara Soluţie: a) Fie numere naturale consecutive. Atunci divide , de unde divide pe 3. Atunci . Se observă că doar verifică, adică numerele căutate sunt 1,2,3 b) Se observă că tripletele de numere egale verifică condiţia dată. Dacă unul dintre ele este strict mai mare decât celelalte două obţinem tripletele şi . Dacă două numere sunt egale, iar al treilea mai mic, problema nu are soluţii.
Soluţie: Sunt 500 de multipli de 2, 200 de multipli de 5 şi 100 multipli de 10, deci sunt 600 de multipli de 2 sau 5 şi rămân 400 de numere care nu sunt multipli nici de 2 nici de 5. Dacă Răzvan şterge primul număr care nu e multiplu de 2 sau 5, urmează Ioana care va şterge din nou un număr care nu e multiplu de 2 sau 5, etc. Cum sunt 400 de numere nedivizibile cu 2 sau cu 5, primul copil care este obligat să şteargă un număr divizibil cu 2 sau 5 va fi Răzvan. VI. 249 Se consideră triunghiul în care lungimile laturilor şi sunt direct proporţionale cu 2 şi 4, iar măsura unghiului este egală cu . Arătaţi că triunghiul este dreptunghic. Alexandru Blaga, Satu Mare Soluţie: Fie mijlocul lui . Atunci este echilateral şi este isoscel, . Atunci , deci . VI. 250 Arătaţi că, oricum am alege două elemente ale mulţimii , suma sau diferenţa acestora este multiplu de 4. Lucian Petrescu, Brăila Soluţie: Fie numerele . Atunci şi deoarece au aceeaşi paritate dacă este par şi dacă este impar. Clasa a VII-a VII. 241 În trapezul ducem . Fie mijlocul diagonalei . Demonstraţi că dacă şi numai dacă trapezul este isoscel Aurel Bârsan, Braşov Soluţie: Fie mijlocul diagonalei . Se ştie că şi (se arată uşor). Avem astfel: paralelogram . Dacă proiecţia lui pe este , egalitatea anterioară este echivalentă cu . VII. 242 În triunghiul ABC avem şi . Să se demonstreze că triunghiul este dreptunghic. Vasile Şerdean, Gherla Soluţie: Fie astfel încât isoscel dreptunghic În avem
triunghiul ABC este dreptunghic în . VII. 243 Fie un trapez dreptunghic, , în care şi astfel încât . Arătaţi că:
OL Călăraşi Soluţie: a) Din ipoteză, rezultă că ; deci triunghiurile şi sunt dreptunghice şi isoscele, aşadar b) În , dreptunghic în , - mediană, de unde aşadar este isoscel cu - bisectoare. Apoi , de unde - înălţime . Analog - isoscel, implică , deci are trei unghiuri drepte, deci este dreptunghi. VII. 244 Arătaţi că dacă numerele îndeplinesc simultan condiţiile: şi , atunci şi OJ Harghita Soluţie: Din avem ,(1) iar din avem . Din (1) şi (2) avem 2 numere raţionale a căror sumă este negativă şi produsul pozitiv. Înseamnă că cele 2 numere sunt negative, deci şi de unde şi . VII. 245 Fie numerele şi a) Dacă , să se arate că şi nu pot fi, simultan, numere naturale. b) Dacă , să se determine , astfel încât şi să fie, simultan, numere naturale.
Soluţie: a) nu pot fi simultan numere naturale b)
VII. 246 Un trapez are baza mare şi . Linia mijlocie a trapezului intersectează pe în şi pe în . a)Demonstraţi că este trapez isoscel dacă şi numai dacă . b)Vârfurile trapezului şi punctul reprezintă 5 oraşe, iar laturile şi diagonalele sale sunt şosele de legătură. Două maşini pleacă din , respectiv pe ruta cea mai scurtă spre , respectiv spre şi alte două maşini pleacă din respectiv spre , respectiv , trecând prin pe ruta cea mai scurtă. Cele 4 maşini au aceeaşi viteză, constantă, pe întreg parcursul. Demonstraţi că primele 2 maşini ajung simultan în , respectiv . Pot ajunge toate patru, în acelaşi timp la destinaţie?
Soluţie:a) trapezul este isoscel b)Problema revine la a arăta că . Dacă , adică trapezul este isoscel, atunci şi şi . Reciproc de unde . Analog . Din rezultă ceea ce, după cum am văzut implică . Nu pot ajunge toate patru simultan la destinaţie deoarece drumul prin O e mai lung decât cel direct: VII. 247 În triunghiul , în care şi fie simetricul punctului faţă de . Să se determine . Concurs „Gheorghe Vrânceanu” Soluţie: Fie şi mijlocul lui . În , iar în . Deoarece echilateral şi , iar din isoscel de bază . Avem că este linie mijlocie în rezultă . În final, (corespondente ) . VII. 248 Fie pătratul şi mijlocul laturii . Dreapta intersectează perpendiculara în pe în punctul . Să se arate că punctele sunt coliniare. Ionel Patriche. Soluţie: Fie . Dacă vom arăta că , atunci . Segmentul este linie mijlocie în triunghiul , rezultă , rezultă că triunghiul este dreptunghic , deci şi rezultă că punctele sunt coliniare. VII. 249 Orice număr natural este şmecher sau fraier . Ştim că dacă este şmecher, atunci este şmecher; dacă este fraier, rezultă că este tot fraier. a) Să se demonstreze că oricare ar fi numărul natural, şi sunt sau şmechere, sau fraiere. b) Să se găsească minim pentru care putem afirma că oricum ar fi alese numerele, printre primele numere naturale, sigur sunt cel puţin 401 şmechere.
Soluţie: a)Dacă e şmecher şi e fraier rezultă e şi şmecher şi fraier – contradicţie. Dacă e fraier şi e şmecher analog se obţine contradicţie. Deci şi sunt de acelaşi tip b)Dacă 0 e de un tip rezultă că 5,10,5,…sunt de acelaşi tip Dacă 1 e de un tip rezultă că 6,11,16,..sunt de acelaşi tip Dacă 2 e de un tip rezultă că 7,12,17,..sunt de acelaşi tip Dacă 3 e de un tip rezultă că 8,13,18,..sunt de acelaşi tip Dacă 4 e de un tip rezultă că 9,14,19,..sunt de acelaşi tip Din cele ce mai sus se observă că cele 5 tipuri generat mai sus sunt disjuncte şi acoperă . Deci minim va fi 2000. VII. 250 Dacă în triunghiul avem , atunci triunghiul este isoscel. Concurs „Gheorghe Popescu” Soluţie: Notând aria triunghiului cu , relaţia din enunţ se scrie echivalent sau, după calcule . Dar de unde aşadar . Rezultă deci triunghiul este isoscel. Clasa a VIII-a VIII. 241 a) Să se demonstreze că : . b) Să se determine pentru care verifică egalitatea: OL Botoşani Soluţie: a) Se arată imediat că . b) Folosind observaţia anterioară, avem: şi . Pentru folosim un raţionament asemănător şi astfel: este soluţie unică.
b) Dacă sunt dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic şi sunt lungimile feţelor paralelipipedului, demonstraţi că . În ce condiţii are loc egalitatea? OL Caraş Severin Soluţie: Deducem din că . Adunând, obţinem concluzia. Egalitatea are loc pentru adică în cazul unui cub. VIII. 243 Să se arate, în mulţimea numerelor naturale, că dacă un număr se poate scrie ca suma a două pătrate perfecte, atunci şi dublul său şi pătratul său se poate scrie ca suma a două pătrate perfecte. Vasile Şerdean, Gherla Soluţie: VIII. 244 Găsiţi numerele întregi şi ştiind că Gh. Molea, Curtea de Argeş Soluţie: Relaţia din enunţ este echivalentă cu . Cum nu se poate şi atunci ecuaţia are soluţia numai în cazul în care adică de unde şi se obţine soluţia problemei. VIII. 245 Fie patru puncte necoplanare şi mijloacele segmentelor respectiv . Arătaţi că : a) ; b) .
Soluţie: a) este paralelogram, atunci din identitatea paralelogramului avem de unde b) dreptunghi .
Demonstraţi că Ştefan Smarandache, Bucureşti Soluţie: Egalitatea dată se poate scrie: . Cum deducem: . Pe de altă parte . VIII. 247 Semidreptele în spaţiu şi sunt perpendiculare, iar semidreapta formează cu celelalte două, unghiuri cu măsura de , respectiv . Calculaţi măsura unghiului dintre semidreapta şi planul . Mircea Trifu, Bucureşti Soluţie: Notăm ; alegem aşa încât aşa încât este dreptunghi. Fie din şi deducem . Folosim teorema celor trei perpendiculare şi avem . Din , apoi .
a) Dacă , arătaţi că este dreptunghi. b) Dacă se adaugă condiţia determinaţi poziţia punctului A astfel încât aria triunghiului să fie maximă.
Soluţie: a) Aplicând teorema medianei în cele două triunghiuri , cu condiţia din ipoteză, rezultă şi cum este paralelogram dreptunghi b)Din . Cu inegalitatea mediilor avem . Aria va fi maximă pentru , deci A se află pe perpendiculara pe planul dusă prin mijlocul lui şi
. b) Arătaţi că Laurenţiu Panaitopol Soluţie: Observăm că . Calculăm suma , raţionalizând fiecare fracţie şi aplicând relaţia anterioară: . Aplicând inegalitatea mediilor pentru
. Demonstraţi că, în aceste condiţii, . OL Timiş Soluţie: ( egalitate pentru ) (1) Pe baza relaţiei (1) avem acum: şi . Fie mijlocul lui . Triunghiurile şi fiind isoscele şi . Aşadar
Soluţie: Dacă cu atunci trebuie ca de unde sau . Trebuie deci ca şi .Pentru aceasta ar trebui ca să fie pătrat perfect. Pentru . deci nu poate fi pătrat perfect. Rămân rezultatele şi . adică 1 sau şi care nu convine (dă )
Demonstraţi că . Concurs „Mathematica- Modus Vivendi” Soluţie: Cu teorema cosinusului avem , de unde . Înlocuind a în relaţia din enunţ deducem şi cum rezultă IX. 213 Dacă sunt numere naturale nenule astfel încât , atunci să se arate că cel puţin două din numerele date sunt egale. Gheorghe Ţurcanu Soluţie: Presupunem că . Atunci fals deci cel puţin două numere sunt egale.
Soluţie: Ecuaţia se scrie . Notând cu soluţiile . Revenind obţinem . Clasa a X-a X. 211 Determinaţi numerele reale pentru care . OL Caraş – Severin Soluţie: Notăm şi se obţine sistemul cu , deci . Deoarece funcţia este strict crescătoare, este soluţie unică. X. 212 Dacă este o rădăcină a ecuaţiei , se cere: a) Calculaţi b) Arătaţi că: * * *
Soluţie: a) Am folosit binecunoscutele: şi b) (ii)
X. 213 Determinaţi numerele naturale , şi numărul prim , ştiind că .
Soluţie: Fie soluţie. Rezultă că este par şi cum este prim . Avem . Prin eliminarea lui se obţine . Deducem: pentru şi pentru .
şi .
Arătaţi că funcţia e injectivă, dar nu e surjectivă. OL Arad Soluţie: Fie . Deci şi , atunci şi de aici . Astfel: . Funcţia nu este surjectivă deoarece nu ia valori pare; este injectivă deoarece, dacă şi , atunci , iar din , deci . Clasa a XI-a XI. 211 Dacă şi , arătaţi că este divizibil prin 30. OL, Mehedinţi Soluţie: Deoarece pentru şi rezultă că . XI. 212 Dacă şi , demonstraţi că . Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin Soluţie: . Înmulţim la dreapta , apoi la stânga cu egalitatea din enunţ şi avem . Prin scăderea acestor relaţii se obţine sau . XI. 213 Se consideră şirul definit prin . Calculaţi: a) b) . OL Satu Mare Soluţie: a)Se arată, prin inducţie matematică, că . Atunci, şirul este strict crescător. Dacă şirul ar fi mărginit superior, deci convergent, trecând la limită, ar rezulta: , contradicţie. Urmează b)Aplicând Lema Stolz –Cesaro avem: , deci .
Calculaţi . OL Caraş Severin Soluţie: Deoarece , rezultă că . Deci şi . Clasa a XII-a XII. 211 Fie . a) Arătaţi că toate elementele lui sunt funcţii strict monotone. b) Arătaţi că este grup; c) Fie cu proprietatea că este un element de ordin finit şi . Arătaţi că ordinul lui în este 1. * * * Soluţie: a) Deoarece f este continuă şi injectivă , este strict monotonă. c)Fie , deci . Cum este strict monotonă şi , rezultă că este strict crescătoare. Dacă există cu , atunci , fals. La fel este imposibil. Rezultă, deci şi deci . XII. 212 Definim pe mulţimea operaţia . Arătaţi că formează un grup izomorf cu grupul . OL Bihor Soluţie: Funcţia este izomorfism de la ; în rest, problemă de clasă. XII. 213 Arătaţi că, dacă este un grup un element fixat, atunci este un automorfism al grupului . OL Caraş- Severin Soluţie: Deoarece , iar este bijectivă, concluzia se impune imediat. Sigur că la un concurs sau examen, trebuie scris un pic mai detaliat !. XII. 214 Arătaţi că este primitivabilă şi determinaţi mulţimea primitivelor sale. Concurs Traian Lalescu Soluţie: Deoarece f este continuă , este primitivabilă. Pentru . Pentru şi . Pentru . Prin urmare, primitiva funcţiei f are forma Din continuitatea lui rezultă şi apoi primitiva .
.
Soluţie: Inegalitatea evidentă conduce la Analog se ajunge la şi . Prin însumare se ajunge la inegalitatea propusă.
şi .
Dorin Andrica Soluţie: Deoarece , iar nu poate fi puterea a patra a unui număr natural, rezultă afirmaţia din enunţ. A 23. Determinaţi mulţimea Dorin Andrica Soluţie: Fie cu . Pentru elementele mulţimii care verifică sunt . Pentru , din , ajungem la Pentru . Pentru avem inegalităţile imposibile , deoarece în general, pentru , din (inducţie). Aşadar avem .
este adevărată pentru orice Dorin Andrica Soluţie: Notăm şi avem Deoarece , avem . Folosim acum inegalitatea şi ajungem la , de unde prima inegalitate din enunţ se obţine imediat.
(Se primesc soluţii pânǎ în data de 7 septembrie 2013, nu mai târziu!. Pe plic scrieţi clasa în care sunteţi, vă rugăm DIN NOU !) Yüklə 0,68 Mb. Dostları ilə paylaş:
|