Teorem 2.Əgər ikinci dərəcəli xətti homojen tənliyin həllidir və C sabitdirsə, o da bu tənliyin həllidir.
Sübut.(9) tənliyini əvəz edin. Alırıq: yəni tənliyin həlli.
Nəticə.Əgər və (9) tənliyinin həlli olarsa, onun (1) və (2) teoremlərinin köməyi ilə həlli də elədir.
Tərif.İki həll və tənlik (9) xətti asılı (seqmentdən) adlanır, əgər eyni vaxtda sıfıra bərabər olmayan və bu həllərin xətti kombinasiyası eyni şəkildə sıfıra bərabər olan belə ədədləri seçmək mümkün olarsa . əgər .
Əgər belə ədədləri seçmək mümkün deyilsə, o zaman həllər xətti müstəqil adlanır (aralıqda ).
Aydındır ki, həllər və yalnız onların nisbəti sabit olduqda, yəni (və ya əksinə) xətti asılı olacaqdır.
Həqiqətən, əgər və xətti asılıdırsa, onda , burada ən azı bir sabit və ya sıfırdan fərqlidir. Məsələn, . Onda , , işarəsi alırıq, yəni nisbət sabitdir.
Əksinə, əgər . Burada əmsalı, yəni sıfırdan fərqlidir, bu, tərifinə görə o deməkdir və xətti asılıdır.
Şərh. Xətti müstəqil həllərin tərifindən və yuxarıdakı əsaslandırmadan belə nəticəyə gələ bilərik ki, əgər və xətti müstəqildirsə, onda onların nisbəti sabit ola bilməz.
Məsələn, və for funksiyaları xətti müstəqildir, çünki , çünki. Və burada 5 xüsusiyyət var x və x nisbəti olduğu üçün xətti asılıdır.
teorem.Əgər və ikinci dərəcəli xətti bircinsli tənliyin xətti müstəqil qismən həlləridirsə, onda onların xətti birləşməsi , burada və ixtiyari sabitlər bu tənliyin ümumi həllidir.
Sübut. 1 və 2-ci teoremlərə (və onların nəticələrinə) əsasən, sabitlərin istənilən seçimi üçün (9) tənliyinin həllidir.
Əgər həllər xətti müstəqildirsə, bu ümumi həlldir, çünki bu həll birinə endirilməsi mümkün olmayan iki ixtiyari sabitdən ibarətdir.
Eyni zamanda, onlar xətti asılı həllər olsalar belə, bu, artıq ümumi həll olmayacaq. Bu halda harada α -Sabit. Sonra sabit haradadır. ikinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli ola bilməz, çünki o, yalnız bir sabitdən asılıdır.
Beləliklə, (9) tənliyinin ümumi həlli:
19. Xətti müstəqil funksiyalar sistemi anlayışı. Vronskinin təyinedicisi. xətti müstəqillik üçün kifayət qədər şərt. funksiyanın fundamental sistemi anlayışı. Nümunələr. [a, c] intervalında Wronsky determinantının sıfırdan fərqi üçün zəruridir
Dostları ilə paylaş: |
