Dixotomiya üsulu
Yüklə 276,95 Kb.
|
1 2
2018-2473 - birləşdirmə üçün(1)| Misal 2.5. e= 0,01 dəqiqliyi ilə x = 5 2 -ni tapaq. Bu məsələ f (x) = x5 - 2 = 0 tənliyinin kökünün tapılması ilə ekvivalentdir. İlkin [a0,b0] parçası kimi [1,2] parçasını götürək. Bu parçanın uclarında funksiya müxtəlif işarəli qiymətlər alır: f (1) < 0, f (2) > 0 .
Lazım olan dəqiqliyə nail olmaq üçün [1,2] parçasının bölünmələrinin n sayını tapaq. xn - x* £ = £10-2 n ‡ 6 . Beləliklə, 6-cı bölünmədən gec olmayaraq lazım olan dəqiqliklə 5 2 tapılır, yəni 5 2 »1,1484 . Hesablamaların nəticələri cədvəl 2.1-də verilmişdir. Cədvəl 2.1
2.3. Sadə iterasiya üsulu və onun xətası f (x) = 0 tənliyinin təqribi kökünü dəqiqləşdirmək üçün sadə iterasiya üsulu adlanan üsuldan istifadə edək. Bu zaman f (x) = 0 tənliyi x =j(x) (2.6) şəklinə gətirilir. Bu onu göstərir ki, f (x*) = 0-dan x* =j(x*) alınır və tərsinə. Köklərin təkləndiyi intervalda həndəsi olaraq (2.6) tənliyi iki kəsişən y= x və y =j(x) qrafikləri şəklində göstərilir (şəkil 2.2). x* kökü üçün x0 başlanğıc yaxınlaşmasının verildiyini fərz edək. Onda iterasiya prosesinin xk =j(xk ) , k = 0,1,2,K (2.7) şəklində olduğunu alarıq. Şəkil 2.2. x =j(x) tənliyinin kökünün dəqiqləşdirilməsi Teorem 2.4. Tutaq ki, j(x) funksiyası [a,b] parçasında təyin olunmuşdur, diferensiallanandır və j(x)˛[a,b]. Əgər elə birq ədədi varsa ki, j¢(x) £ q <1, a < x < b, onda: 1) (2.7) iterasiya prosesi başlanğıc x0 yaxınlaşmasının seçilməsindən asılı olmayaraq yığılır; 2) x* = lim xn qiyməti (2.6) tənliyinin yeganə nfi¥ həllidir. İsbatı. xn+1 =j(xn) və xn =j(xn-1) yaxınlaşmalarına baxaq. Buradan alırıq ki, xn+1 - xn =j(xn) -j(xn-1) . Laqranj teoreminə görə xn+1 - xn = (xn - xn-1)j¢( Onda xn+1 - xn £ q xn - xn-1 (2.8) və x2 - x1 £ q x1 - x0 , x3 - x2 £ q x2 - x1 £ q2 x1 - x0 , ............................................... (2.9) xn+1 - xn £ qn x1 - x0 olar. Aşağıdakı sıraya baxaq: 2.4. Toxunanlar (Nyuton) üsuluTutaq ki, x (2.1) tənliyinin həllidir və f (x) funksiyası 2-ci tərtib kəsilməz törəməyə malikdir. Hər hansı xn »x n -ci yaxınlaşmasını tapmaqla, bu yaxınlaşmanı toxunanlar üsulu ilə aşağıdakı kimi dəqiqləşdirə bilərik: x = xn + h , (2.13) burada h mütləq qiymətcə kiçik kəmiyyətdir. f (x) funksiyasını Teylor sırasına ayıraq. Bu ayrılışın ilk iki həddi ilə kifayətlənək: 0 = f (x) = f (xn + h) » f (xn) + hf ¢(xn) h = - ff¢((xxnn)) . Onda (2.13) ifadəsinə əsasən xn+1 = xn - ff¢((xxnn)), n = 0,1,2,... (2.14) alırıq. Toxunanlar üsulu f (x0) f ¢¢(x0) > 0 şərtini ödəyən ucdan tətbiq olunur. Bu üsulu həndəsi izah edək (şəkil 2.4). B(b, f (b)) nöqtəsində əyriyə çəkilmiş toxunanın tənliyi y - f (b) = f ¢(b)(x - b) şəklindədir. Bu tənlikdə y = 0 , x = xn+1, b = xn götürsək alırıq: - f (xn) = f ¢(xn)(xn+1 - xn) xn+1 = xn - ff¢((xxnn)) Şəkil 2.4.Toxunanlar üsulu ilə tənliyin kökünün dəqiqləşdirilməsi Qeyd 3. Əgər f ¢(x) törəməsi [a,b] parçasında az dəyişirsə, f ¢(xn) » f ¢(x0) götürmək olar. Onda xn+1 = xn - ff¢((xxn0)) , n = 0,1,2,... (2.15) alarıq. (2.15) düsturu modifikasiya olunmuş toxunanlar üsulu adlanır. Sadə iterasiya üsulu üçün yığılmanın kafi şərtindən bu üsul üçün uyğun şərti almaq olar. x =j(x) və (2.14) münasibətlərindən, toxunanlar üsulunun j(x) = x - f (x) f ¢(x) olduqda, sadə iterasiya üsulundan alınan xüsusi halı olduğu görünür. Bu halda sadə iterasiya üsulu üçün j¢(x) <1 yığılma şərtindən və n 2.5. Vətərlər üsulu Tutaq ki, f (x) = 0 tənliyinin x˛[a,b] həllini tapmaq tələb olunur və f (a) f (b) < 0. Müəyyənlik üçün, f (a) < 0, f (b) > 0 olduğunu fərz edək (şəkil 2.5). [a,b]parçasını yarıya bölmək əvəzinə onu f (a): f (b) nisbətində iki hissəyə bölək. Bu bizə kökün təqribi x1 = a + h1 (2.17) qiymətini verir. Buradan DAaM ~ DBbM olduğuna görə belə yaza bilərik: Şəkil 2.5. Vətərlər üsulu ilə tənliyin kökünün dəqiqləşdirilməsi - f (a) h1 = , f (b) b -(a + h1) - f (a) h1 = (b - a) (2.18) f (b) - f (a)Deməli, x1 = a - f (a) (b - a) = af (b) -bf (a) (2.19) f (b) - f (a) f (b) - f (a) Vətərlər üsulu xk+1 = xk - f¢(xk ) , k = 0,1,2,... f (xk )toxunanlar üsulundan f ¢(x) törəməsini iki ardıcıl [xk-1, f (xk-1)] və [xk , f (xk )] yaxınlaşmalarına görə aşağıdakı kimi hesabladıqda alınır. f ¢(xk ) = f (xk )- f (xk ) . xk - xk A(a, f (a)) və B(b, f (b)) nöqtələrindən keçən düz xəttin x -a = y - f (a) b-a f (b)- f (a) tənliyində x = x1, y = 0 götürsək (2.19) ifadəsini alarıq. Yüklə 276,95 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
1 2