Dokuzuncu böLÜM

a. Sömelin köşesinde 2 m derinlikteki düşey gerilmeyi bulunuz.

b. Sömelin merkezinde 2 m derinlikteki düşey gerilmeyi bulunuz.

c. Sonuçları Şekil Ör. 8.17a ile karşılaştırınız.
Çözüm:
a. x=3 m

y=4 m

z=2 m. Bu nedenle, (8-28) ve (8-29) eşitliklerinden:

m=x/z=3/2=1,5

n=y/z=4/2=2

Şekil 8.21’den I=0,223 bulunur. (8-30) eşitliğinden:

 _z=q_oI

=117 x 0,223

=26 kPa.

b. Merkezin altındaki gerilmeyi hesaplamak için 3 x 4 m boyutlarındaki sömeli 1,5 x 2 m boyutlarında dört bölüme ayırmak gerekir. Bir köşe altındaki gerilmeyi bulunuz ve üniform olarak yüklenmiş alanın çeyreklerini dikkate almak için bu değeri 4 ile çarpınız. Bunu yapabilmemizin nedeni elastik malzemede çakıştırmanın (superposition) geçerli olmasıdır.
x=1,5 m

y=2 m

z=2 m, o halde:

m=x/z=1,5/2=0,75

n=y/z=2/2=1
Bunlara karşılık gelen I değeri Şekil 8.21’den 0,159 bulunur. (8-30) eşitliğinden:
_z=4q_oI=4 x 117 x 0.159=74 kPa.
Bu nedenle, verilen problemde merkezin altındaki düşey gerilme köşedekinin yaklaşık üç katı büyüklüktedir. Merkezin tüm kenarlardan yüklenip köşelerin altında tüm kenarlardan yükleme olmadığı için elde edilen bu değer makuldur.

c. 3 x 4 m sömelin 2 m altında 2:1 teorisine göre düşey gerilme 47 kPa’dır (bkz. Şekil Ör. 8.17b). Bu değer, sömel altında –2 m’deki ortalama gerilmeyi temsil eder. Köşe ve merkezdeki gerilmelerin ortalaması elastik teoriye göre (26+74.2)/2=50.1 kPa’dır. Böylelikle 2:1 metodu düşey gerilmeyi merkezin altında olduğundan daha küçük; köşelerdekini ise daha büyük vermektedir.

Şekil 8.21 Üniform şekilde yüklenmiş dikdörtgen alanın köşesi altındaki düşey gerilme için etki değeri.

__________

Yüklenen alanın dışında bir z derinliğindeki düşey gerilmeyi bulmamız gerektiğini düşününüz. Böyle şartlarda yapılması gereken, köşeleri gerilme hesabı yapılması istenen noktanın üzerine gelecek şekilde başka üniform olarak yüklenmiş dörtgenler üretmek ve duruma göre bunların gerilme dağılımlarını eklemek veya çıkarmaktan ibarettir.

ÖRNEK 8.19

Verilen:
5 x 10 m boyutlarında, 100 kPa ile üniform şekilde yüklenmiş bir alan.
İstenen:
a. Şekil Ör. 8.19’da A noktası altında 5 m derinliğindeki gerilmeyi bulunuz.

b. 5x10 m’lik alanın sağ yarısına ilave bir 100 kPa yükleme yapılması durumunda A noktasındaki gerilmeyi bulunuz.

Şekil Ör. 8.19

Çözüm:
a. Şekil Ör. 8.19’a ve numaralanmış noktalara bakınız. Dörtgenleri şu sıraya göre ilave ediniz (yüklenmiş alanlar için + ve yüklenmemiş alanlar için –) :+A123–A164–A573+A584 istediğimiz 8627 yüklenmiş dörtgenini verir. Herbir dörtgen için Şekil 8.21’den 5 m derinlik için etki faktörlerini bularak hesaplanmış gerilmeleri ekleyiniz ve çıkarınız. A164 ve A573 dörtgenlerinin parçası olarak iki kere çıkarıldığı için A584 dörtgeninin eklenmesi gerektiğine dikkat ediniz.
Hesaplamalar aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir.

Alan	+A123	–A164	–A573	+A584
Bileşen
x	15	15	10	5
y	10	5	5	5
z	5	5	5	5
m=x/z	3	3	2	1
n=y/z	2	1	1	1
I	0,238	0,209	0,206	0,180
z	23,8	–20,9	–20,6	+18,0

Toplam _z = 23,8 – 20,9 – 20,6 + 18,0 = 0,3 kPa
b. dörtgeni 100 kPa ile ve dörtgeni de 200 kPa ile yüklendiği zaman, 8627 dörtgeninin tamamı 100 kPa ile yüklendiği durumda A noktasında 5 m derinlikteki gerilmeyi bulmak için yukarıda (a) şıkkında takip edilen adımları tekrarlayınız. Sonra, tıpkı (a)’da olduğu gibi ikinci grup dört adet dörtgen hesaplanmalıdır; fakat, sadece dörtgeninin +100 kPa ile; diğerlerinin –100 kPa ile yüklenmiş olması gerekir. Toplam _z (a) şıkkından 0,3 + 23,8 – 21,0 – 23,2 + 20,6 veya 0,5 kPa.

__________

Böylelikle, Örnekler 8.18 ve 8.19’da tanıtılan yöntemleri kullanmak suretiyle üniform olarak yüklenmiş bir alanın içinde veya etrafındaki hatta basamaklı yüklenmiş alanların altındaki gerilmeleri bulmak mümkündür. _z ‘nin bulunması gerektiği herbir derinlikte yeni bir grup hesaplamaların gerekli olduğunu unutmayınız.

Üniform olarak yüklenmiş dairesel alanların altındaki düşey gerilmeler için de benzer yöntemler mevcuttur. Etki değerlerini x/r ve z/r cinsinden bulmak için Şekil 8.22’yi kullanınız. Şekildeki z=derinlik, r=üniform yüklenmiş alanın yarıçapı, x=dairesel alanın merkezinden yatay uzaklık ve q_o=kPa cinsinden yüzey temas basıncıdır.

_________

ÖRNEK 8.20
Verilen:
117 kPa ile üniform şekilde yüklenmiş 3,91 m çapındaki bir tank.
İstenen:
a. Tankın merkezinin altında 2 m derinliğindeki gerilmeyi bulunuz.

b. Tankın kenarında yine 2 m derinlikteki gerilmeyi bulunuz.
Çözüm:
a. Şekil 8.22’ye gidiniz.

z=2 m

r=3,91/2=1.95 m

x=0; o halde,

z/r=2/1,95=1,02

x/r=0/1,95=0.
I=0,63 bulunur. (8-30) eşitliğini kullanarak:

_z=q_o I=117 x 0,63=74 kPa.

(Bu değer Örnek 8.18’de 3 x 4 m ebadındaki dörtgen alanın merkezindeki _z=74 kPa ile uyum içerisindedir. Iki durumda da yüklenen kısmın alanı 12 m²’dir).

a. Şekil 8.22’ye tekrar bakınız.

z=2 m

r=1,95 m

x= r=1,95 m

z/r=2/1,95=1,02

x/r=1,0
I=0,33 bulunur. O zaman, (8-30) eşitliğini kullanarak:

_z=q_o I=117 x 0,33=39 kPa.

(Bu değer, üniform şekilde yüklenmiş 3x4 m’lik dörtgenin köşesindeki _z=26 kPa ile uyum içerisindedir. Her iki durumda da yüklenen kısmın alanı aynıdır).

Şekil 8.22 Üniform şekilde yüklenmiş dairesel alanın altındaki düşey gerilme için yüzey kontak basıncı qo'ın yüzdesi cinsinden etki değerleri (U.S. Navy, 1971'de değinilen Foster ve Ahlvin, 1954'den).