Fazolar va sinov funksiyalar fazosi Belgilash

Teorema 2. Agar Ω Rⁿ ning ochiq kichik to'plami va k musbat butun son bo'lsa, C^k(Ω) Frechet fazosidir.
Isbot: Biz 1-teoremada C(Ω) = C⁰(Ω) Frechet fazosi ekanligini isbotladik. Biz C^k−1(Ω) ni Frechet fazosi deb faraz qilamiz va bu induksion gipotezadan foydalanib, C^k(Ω) Frechet fazosi ekanligini isbotlaymiz.
f_i ∈ C^k(Ω) C^k(Ω) dagi Koshi ketma-ketligi bo'lsin. f_i, xususan, Frechet fazosi C(Ω)dagi Koshi ketma-ketligidir, shuning uchun ba'zi g ∈ C(Ω) mavjudki, C(Ω) da f_i → g. C^k Ω Ō) da g ∈ C^k(Ω) va f_i → g ekanligini isbotlaymiz.
Har bir 1 ≤ p ≤ n uchun bizda ∂_pf_i ∈ C^k−1(Ω), ∂_pf_i esa C^k−1(Ω) da Koshi ketma-ketligidir. C^k−1(Ω) Frechet fazosi bo‘lgani uchun har bir p uchun qandaydir g_p ∈ C^k−1(Ω) mavjud bo‘lib, C^k−1(Ω) da ∂_pf_i → g_p bo‘ladi. p ni to'g'rilab, a ∈ Nⁿ ning yozuvi 1 va boshqa barcha yozuvlar 0 bo'lsin. Keyin, x ∈ (Ω) ni tuzating va N ni, x K_N ning ichki qismida yotadigan darajada kattaligini olamiz. Har bir i uchun F_i(t) = f(x + ta) ni aniqlaymiz, buning uchun

Noldan farqli uchun yetarlicha kichik bo'lib, x dan gacha bo'lgan chiziq K_N da bo'ladi,

ya’ni,

C(Ω) da f_i → g va C(Ω) da ∂_pf_i → g_p bo‘lgani uchun |f_i(y) − g(y)| → 0 va |(∂^pf_i)(y) − g_p(y)| → 0, shundan kelib chiqadi

yoki,

0 ga moyil bo'lgani uchun o'ng tomon g_a(x) ga intiladi, bu (∂_pg)(x) =g_p(x) ekanligini ko'rsatadi. Lekin x Ω ning ixtiyoriy nuqtasi edi, shuning uchun ∂_pg = g_p ∈ C^k−1(Ω). Shunday qilib, har bir 1 ≤ p ≤ n uchun biz ∂_pg ∈ C^k−1(Ω) ga ega bo‘lamiz, undan g ∈ C^k(Ω) kelib chiqadi.